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重难点05 解三角形的实际应用（4题型限时提升练）

来源：花匠小妙招时间：2026-03-04 12:04

重难点05解三角形的实际应用

2025年考向预测：正、余弦定理的实际应用

题型1正、余弦定理判定三角形形状

1．已知在中，三边分别对应三个内角；且

（1）求角的大小；

（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状.

2．在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.

(1)求角的大小；

(2)若，证明：是直角三角形.

3．（2023·上海虹口·一模）设的内角所对的边分别为，已知．

(1)求角A；

(2)若，求证：是直角三角形．

4．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.

题型2求三角形中的边长或周长的最值或范围

1．（2024·上海宝山·一模）在中，已知.

(1)若且，求的面积；

(2)若求的取值范围.

2．（2023·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；

(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.

3．（2023·上海青浦·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，求的周长的最大值．

4．（2023·上海·模拟预测）高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段?代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩）

(1)求需要建造的桥墩的个数；

(2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.

题型3几何图形中的计算

1．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

(1)若∠ADE，求EF的长；

(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？

（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m2）

2．如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

3．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．

(1)当，时，求的长；（结果精确到米）

(2)当时，求面积的最大值及此时的值．

4．（2023·上海徐汇·一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.

(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;

(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）

5．（2023·上海浦东新·一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？

(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

题型4正、余弦定理的实际应用

1．某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.

(1)求岸线上点与点之间的直线距离；

(2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

2．如图，某公园有一三角形