卡特兰数

卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。

卡特兰数的公式

公式一

递推公式

h(0)=h(1)=1

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)

如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法，那么数据一大就在时空上很麻烦

公式二

递推公式

h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1)

这个公式应用递推，看上起十分和善

但对大数据呢？

我们注意到大数据的时候h(n)会很大，这时候题目一般会让你对某素数取模（当然你可以打高精度（划掉））

但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0

那么根据公式下面所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了

公式三

组合数公式1

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上面的公式

但我们发现对于大数据你要取模，而对于除法你是没办法用膜的性质的（当然你可以应用逆元（划掉）），所以造成了麻烦

公式四

组合数公式2

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1) (n=0,1,2,…)

与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法

减法是可以用膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。

所以我写了这么多就是想说，对于一个特定的任务，可能会有很多方法求解，但其实只要稍稍分析一下就会发现有一种方法

是通用而优美的，我在没认真思考前都是记的四个公式，但是有一天我真的认真想过后才发现其实我就记住公式四就好了。

基本模型

有一个长度为2n的01序列，其中1,0各n个，要求对于任意的整数k∈[1,n]数列的前k个数中，1的个数不少于0。

转化思维

我们把0,1操作扔到一个坐标系中。1看成向右上方走一步，0看成向右下角走一步，那么最后构造完后一定走到了(2n,0)

如下图：

那么总的路径数量就是在2n步中选择n步为1，总方案数为c（2n,n）

接着来考虑题目中的限制条件：对于任意前缀，1的个数不少于0。

那么转化到坐标系中，也就是说走的路径不应该穿过x轴，即直线y=0，也就是不接触,y=−1。

于是我们把与y=−1的接触点的右边整条路径以y=−1为对称轴翻折，于是终点变为了(2n,−2)。如下图：

由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。

即向上走n-1步,向下走n+1步。总数为C（2n，n-1）。那么答案就是C（ 2n , n ）—C（ 2n , n-1 ）

模板题

参考文章

https://blog.csdn.net/qq_30115697/article/details/88906534

https://www.luogu.com.cn/blog/Lonely-Nepenthe/solution-p1044

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网址: 卡特兰数 https://www.huajiangbk.com/newsview646709.html