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经典算法动态规划之商品最优购买问题

来源：花匠小妙招时间：2024-11-14 14:24

问题描述

最小费用购物：
商店中每种商品都有标价。例如，一朵花的价格是2元，一个花瓶的价格是5元。为了吸引客户，商店提供了一组优惠价格商品。优惠价格是把一种或者多种商品分成一组，并且降价销售。例如：三朵花的价格不是6元而是5元。2个花瓶加一朵花的优惠价格是10元。是设计一种算法，计算出某一顾客所购商品应付的最小费用。

题目分析

首先我们考虑这样的问题，当我们通过一种优惠方案以后，那么会产生一个新的子问题，而且产生同样的状态可能不止一条路经，但是这个状态的最小值只有一个，那么这个题目是满足无后效性，又有大量重叠子问题，还符合最优化原理，那么我们选择动态规划来做这道题目是十分合适的。

算法思想实现

通过遍历整张dp表, 我们可以从（0, 0, 0, 0, 0）到（a,b,c,d,e）一直遍历，我们分别以此此判断整个表的每个状态的最小值，当满足某种优惠条件时候，我们把当前状态减去一个优惠方案，会得到一个之前已经算过的重复状态，我们可以通过查表法轻松的得到这个答案，如果满足多个优惠方案，那么我们需要把这几个方案返回的最小值计算出来，填入表中。如果不满足，直接返回单价×数量。这样经过一次遍历以后，我们就可以完整的得到这个dp表，并且实现了备忘录功能，消除了大量重叠子问题。

代码设计思路

我们可以通过一个多维数组来实现这个dp表，每次遍历表中的每个数据，分支进行判断所有优惠方案，并且返回每个分支的值，再这些值当中取得一个最小值放入表中。
数据设计以及测试用例：
2 //代表用户购买两种商品
7 8 2 //七号商品，买8个，单价两元
8 11 5 //八号商品，买11个，单价五元

2 //两种优惠方案
1 7 3 5 //优惠方案涉及1种商品，编号为7,需要3个,优惠价格为5元
2 7 1 8 2 10 // 优惠方案涉及2种商品，编号为7,需要1个。编号为8,需要两个。优惠价格为10元

最后得到整个最小优惠价格：价格的期望值为60。

算法图解

在这里插入图片描述

代码展示

def MinCost(): # 创建一个dp五维数组表,用来做成备忘录 dp[6][6][6][6][6] dp = [] for a in range(10): dp.append([]) for b in range(10): dp[a].append([]) for c in range(10): dp[a][b].append([]) for d in range(10): dp[a][b][c].append([]) for e in range(10): dp[a][b][c][d].append(0) # 定义一个商品列表 goods[5][3] goods = [] for a in range(5): goods.append([]) for b in range(3)

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