机器学习（三）降维之PCA及鸢尾花降维

一.主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

最常用的一种降维方法，通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。
PCA可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能保留原始数据的信息。

• 方差：各个样本和样本均值的差的平方和的均值，用来度量一组数据的分散程度。
• 协方差：用于度量两个变量之间的线性相关性程度，若两个变量的协方差为0，则可认为二者线性无关。协方差矩阵则是由变量的协方差值构成的矩阵（对称阵）。

• 协方差矩阵
• 特征向量和特征值

特征向量：矩阵的特征向量是描述数据集结构的非零向量，并满足如下公式：

A是方阵， 是特征向量，是特征值。

矩阵的主成分就是其协方差矩阵对应的特征向量，按照对应的特征值大小进行排序，最大的特征值就是第一主成分，其次是第二主成分，以此类推。

sklearn中主成分分析
在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.PCA加载PCA进行降维，主要参数有：
• n_components：指定主成分的个数，即降维后数据的维度
• svd_solver ：设置特征值分解的方法，默认为‘auto’,其他可选有
‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’。

目标：已知鸢尾花数据是4维的，共三类样本。使用PCA实现对鸢尾花数据进行降维，实现在二维平面上的可视化。

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.decomposition import PCA

from sklearn.datasets import load_iris

data = load_iris()

y = data.target

X = data.data

pca = PCA(n_components=2)

reduced_X = pca.fit_transform(X)

red_x, red_y = [], []

blue_x, blue_y = [], []

green_x, green_y = [], []

for i in range(len(reduced_X)):

if y[i] == 0:

red_x.append(reduced_X[i][0])

red_y.append(reduced_X[i][1])

elif y[i] == 1:

blue_x.append(reduced_X[i][0])

blue_y.append(reduced_X[i][1])

else:

green_x.append(reduced_X[i][0])

green_y.append(reduced_X[i][1])

plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')

plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='D')

plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='.')

plt.show()

结果输出：

由上图可以看出降维后的数据清晰分成3类，得以削减数据的维度，降低分类任务的工作量，保证分类质量。

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