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等额本息还款解析

来源：花匠小妙招时间：2026-02-02 18:04

今天计算提前还贷的时候，留意到等额本息的计算。那个每月还款金额乍一看真的不知道是啥，解释不上来。

先上公式：

[本金×月利率×（1+月利率）^还款月数]/（1+月利率）^还款月数-1]

要得到这个公式，我们需要先从等额本息的意思说起。等额本息的还法是，我每个月的利息先还掉，剩下部分是本金。

比如利用这个公式，先算一个。假设，借本金十万借十年，年利率6.55%，周期是月。那么我第一个月的利息是545.8333，剩下部分本金数额（先让我用下公式...）

用以上公式得到每月共交出1138.03，所以本金在第一个月还了 (1138.03-545.83)=592.2元

第二月的本金就成了（1000000-592.2），然后在这个基础上算第二个月要交的利息，然后1138.03减去那个利息，就是这第二个月还本金。

这么下去的还款方法就是等额本息法。

所以要推出上面这个公式，我们走正向思路的话，就开始设值吧（为了了解清楚这货，不惜google了等比数列，好伤心，公式看着蛮陌生的，都不太会变形了）

设本金为P，利息为R，次数为n，每月还款额为K。

第一个月还利息 PR, 本金还了K-PR，剩余本金P-(K-PR)=P-K+PR=P(1+R)-K

第二个月还利息[P-(K-PR)]*R, 本金还去K-([P-(K-PR)]*R),剩余本金P-[K-([P-(K-PR)]*R)]-K+PR=P-K+PR-KR+PR^2-K+PR=P(1+R)^2-K(2+R)

第三个月还利息PR(1+R)^2-KR(2+R),本金还去K-PR(1+R)^2-KR(2+R),剩余本金P(1+R)^2-K(2+R)-(K-PR(1+R)^2-KR(2+R))=P(1+3R+3R^2+R^3)-K(R^2+3R+3)

注意红色部分，前一个三次方的公式还好(

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

) ，后一个完全是先设了结论再反推回去得到的。说白了就是蒙，好吧，没想到这年纪了，还喜欢动这脑筋，虽然花了我好几个小时...

=P(1+R)^3-K(1+1+R+(1+R)^2)...做到这里再反推回第二个K(2+R)=K(1+(1+R))

后面那个等比求和公式就显现了，

公式后半部分=-K(1-(1+R)^n)/-R

所以到了最后一轮等额还款的思路在于,它是我现在还没还的本金加上最后这点本金的利息， K=Pn-1+Pn-1 * R

K=[P(1+R)^(n-1)-K((1+R)^(n-1)-1/R))]*(1+R)

K(1+[(1+R)^n - 1-R]/R))=P(1+R)^n

K=RP(1+R)^n/[(1+R)^n-1]

到此推导结束。回头看看另一个贷款算法，有点想哭，这么点东西弄了三个多小时吧，数学敏感度和应用能力真是不高。

早上看了下，等额本金还款法的公式要通俗易懂多了。

遗留问题：到底数学天才们怎么就搞出了这两种说得过去还款方式，然后发现他们之间的总额是差不多的。需要后续慢慢挖掘...