P11233 [CSP

<think>我们参考用户的问题，他询问的是2024年CSP-S（提高级）认证中的染色问题（P11233）的解法。根据引用[1]中的描述，题目要求是最大化相邻同色元素的最小值之和。通过分析，我们得到以下关键点： 1. 题目规则：当两个相同颜色的元素相邻，且它们之间没有其他同色元素时，得分等于这两个元素的值的最小值。 2. 观察：为了最大化得分，我们应该将相同数值的元素染成同一种颜色（红色或蓝色），并且将它们连续放置（即相邻），这样每个数值（除了第一个）都能与它前面最近的一个相同数值形成有效对。 3. 独立贡献：不同数值之间的贡献是独立的。对于每个数值v，如果它出现了cnt_v次，那么它最多可以形成(cnt_v-1)对相邻的同色元素。每一对的贡献是v（因为两个数都是v，最小值就是v），所以该数值的总贡献为v*(cnt_v-1)。 因此，整个问题的解法如下： 1. 统计每个数值出现的次数（注意数值范围，题目中最大值为10^6）。 2. 遍历所有数值，对于出现次数大于等于2的数值，计算其贡献：v*(cnt_v-1)，并累加。 3. 输出总和。 注意：题目中可能有多个测试用例，所以需要处理T组数据。 代码实现时，我们使用一个长度为MAX_VAL+1的数组cnt（初始化为0）来统计每个数值的出现次数。然后读入数组，对于每个数a，如果a在范围内（<=MAX_VAL），则cnt[a]++。最后遍历1到MAX_VAL，累加贡献。 下面给出代码（已根据题目要求使用C++）：</think>### 2024 CSP-S 染色问题解法详解（P11233） #### 核心思路 题目要求最大化相邻同色元素的最小值之和。通过分析规则，发现得分仅发生在相同数值的相邻位置（中间无同色元素）上，且**每个数值的贡献独立**。关键结论如下： 1. **同色聚合最优**：对于数值 $v$，将所有 $v$ 染成同色时贡献最大 - 例：`[5,2,5]` 染同色得 $5$（`5-5`），分色则得 $0$ 2. **贡献公式**：数值 $v$ 出现 $cnt_v$ 次时，最大贡献为： $$ text{贡献}(v) = begin{cases} v times (cnt_v - 1) & text{if } cnt_v geq 2 \ 0 & text{otherwise} end{cases} $$ - 每对相邻同色元素贡献 $v$（因 $min(v,v)=v$） - $cnt_v$ 个元素可形成 $(cnt_v-1)$ 对有效相邻 #### 算法步骤 1. **频率统计** 遍历数组，统计每个数值出现次数 $cnt_v$ ```cpp vector<int> cnt(MAX_VAL + 1, 0); for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a; if (a <= MAX_VAL) cnt[a]++; } ``` 2. **贡献计算** 对每个 $v in [1, text{MAX_VAL}]$ 计算贡献： ```cpp long long ans = 0; for (int v = 1; v <= MAX_VAL; v++) { if (cnt[v] >= 2) { ans += static_cast<long long>(v) * (cnt[v] - 1); } } ``` 3. **输出结果** 直接输出累加值 `ans` #### 复杂度分析 - **时间**：$O(n + text{MAX_VAL})$ - 统计频率 $O(n)$，计算贡献 $O(text{MAX_VAL})$ - **空间**：$O(text{MAX_VAL})$ 频率数组空间 #### 正确性验证 **样例输入**：`[3, 5, 2, 5, 1, 2, 1, 4]` - $1$：出现 $2$ 次 → $1 times (2-1) = 1$ - $2$：出现 $2$ 次 → $2 times (2-1) = 2$ - $5$：出现 $2$ 次 → $5 times (2-1) = 5$ - 其他值：$cnt < 2$ → $0$ **总得分**：$1 + 2 + 5 = 8$（最优解：所有 $1,2,5$ 染同色）[^1] #### 优化扩展 1. **大数值范围（$v leq 10^9$）** 改用 `map` 统计频率： ```cpp unordered_map<int, int> cnt; for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a; cnt[a]++; } // 遍历map计算贡献 ``` - 时间：$O(n log n)$，空间：$O(n)$ 2. **动态规划解法（备用思路）** 当规则复杂化时（如连续段极差），可用 DP： ```cpp // dp[i][c]: 前i个元素，末尾颜色为c时的最大得分 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c : {RED, BLUE}) { dp[i][c] = max( dp[i-1][c] + score(a[i], c), // 延续同色 dp[i-1][!c] // 切换颜色 ); } } ``` 但本题证明独立贡献更优[^2]，无需 DP #### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MAX_VAL = 1000000; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int T; cin >> T; while (T--) { int n; cin >> n; vector<int> cnt(MAX_VAL + 1, 0); for (int i = 0; i < n; i++) { int a; cin >> a; if (a <= MAX_VAL) cnt[a]++; } long long ans = 0; for (int v = 1; v <= MAX_VAL; v++) { if (cnt[v] >= 2) { ans += static_cast<long long>(v) * (cnt[v] - 1); } } cout << ans << 'n'; } return 0; } ``` ### 相关问题 1. **若染色规则改为取相邻同色元素的最大值，解法如何调整？** **答**：贡献公式不变，仍为 $v times (cnt_v-1)$（因 $max(v,v)=v$）[^1] 2. **多颜色（如三种）时能否增加得分？** **答**：不能。分组会减少有效数对数量，同色聚合仍最优（例：三个 $5$ 分两色最多得 $5$，同色得 $5 times 2=10$） 3. **贪心策略为何无效？请举例说明** **答**：顺序染色无法保证全局最优。例 `[2,1,2]`： - 贪心：染 `[红,蓝,红]` 得 $min(2,2)=2$ - 最优：全染红得 $2 times (2-1)=2$（但若为 `[1,2,1]`，贪心可能得 $0$，最优得 $1$） 4. **若得分规则改为连续同色段的极差之和，如何设计算法？** **答**：需动态规划维护段信息： ```python # dp[i][c] = (当前段最小值, 当前段最大值, 总得分) for i in range(n): for c in colors: # 延续当前颜色段 new_min = min(dp[i-1][c].min, a[i]) new_max = max(dp[i-1][c].max, a[i]) score_add = new_max - new_min # 或新开颜色段 ... ``` 5. **如何应对元素删除/修改的变种问题？** **答**：需线段树维护区间频率，结合莫队算法处理动态询问（$O(nsqrt{n})$）[^3]

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