Softmax回归详解

起源：Logistic的二类分类

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_regression

http://deeplearning.net/tutorial/logreg.html

Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。

Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。Softmax函数即是K分类版的Logistc函数。

裸Softmax回归的效果很差，因为没有隐层结构，归根还是是线性回归。所以在深度学习里，Softmax则通常作为MLP的输出层。

即，将BP网络和Softmax结合起来，取BP网络的隐层映射机制、Softmax的多分类机制，加以组合形成新的MLP架构。

这么做的原因就是，传统BP网络的输出层是个多神经元的自行设计接口层，比如常见的log2(K)方法，转多分类需要麻烦的编码。

但实际上，隐层（可看作是input）到输出层的映射原理等效于Softmax，既然Softmax拥有概率取分类的方法，何必再用低效的编码方法？

Part I  如何从2类转化为K类？

解决方案是引入K组（W、b）参数，即有K个分隔超平面，选择作为最终分类即可。

由于存在K组参数，原来的将从单个值，变成一个大小为K的向量。

Part II  变化的目标函数

Logistic的目标函数： 

在Softmax里，由于已经变成了向量，所以不能再使用。

实际上，在Logistic的推导里，只是偶然而已，。

即才是真正的概率分布函数,上述情况只是二项分布的特例。由于y的取值变成的K类，所以新的K项分布概率密度分布表示如下：

且定义

则  

仔细观察，其实就是这个向量根据情况抽取的单个值而已，这就是Logistic函数的修改版本——Softmax函数

梯度变成：

可以使用梯度上升算法了（下降算法也可，即取均值加上负号，变成负对数似然函数）：

Part III  C++代码与实现

  Softmax

Part IV  测试

使用Iris鸢尾花数据集：http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Iris，是三类分类问题

该数据集的第三组数据是非线性的，若K=3训练，则因为非线性数据扰乱，错误率很大。

若K=2，则代码等效于Logistic回归，错误率相近。

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