感谢邀请，文章有点长请耐心看完。
这问题从几年前就有人在问，故而已经烂熟于胸。。
正式答一下，以正视听。本文引用图片均源网络，版权归原作者所有。
曼珠沙华=彼岸花=红花石蒜Lycoris radiata，石蒜科，石蒜属。此名仅限本属本种红色花朵。
曼陀罗=曼陀罗属（Datura）植物通称，茄科。此名基本仅限本属花朵。
【以下考证释义】
1.彼岸花和曼珠沙华都是源自日本的说法。
“曼珠沙华”、“曼殊沙华”等是梵语manjusaka的音译，出自佛教《法华经》。往后的佛教典籍里即将之解释为“赤团华”——团状的红色花朵。原文中并未明言其真实身份，而是和曼陀罗华（mandarava）一样，作为抽象的“天界之花”。
日本则在受到佛教洗礼之后，迅速地把这一典故引用在了他们身边很常见的一种植物身上，那就是红花石蒜。嘛，不管怎么说，它的艳丽红颜色和团簇的辐射状花冠确实很符合“赤团”的形象。。
（所以其他颜色的石蒜是不能被称为“曼珠沙华”的。）
“彼岸花”则是另一个来由。一则其根茎有毒，误食可带来性命危险；二则春分与秋分的那一周便被称为“春彼岸”“秋彼岸”，类似中国的清明节和中元节，是上坟的日子（日本人相信春秋分时昼夜等长，在这一时节扫墓，可与死者的灵魂相见）。红花石蒜的花期，正是在秋分前后。且它喜欢气候阴湿、土壤肥沃的环境，故而坟头往往多见。
P.S. 石蒜在中国名声一直不太好。。。既没有香味，又喜欢长在穷乡僻壤、幽暗深邃处，显得非常阴暗和不吉利。关于这一点，《酉阳杂俎》就曾说：“金灯之花与叶不相见，人恶种之，谓之无义草。” ——金灯花就是红花石蒜的别名。
要知道石蒜在中国有十几二十个别名，其中大部分是——龙爪花，蟑螂花，蜘蛛花，牛屎花，平地一声雷（没错“平地一声雷”就是个花名）。。。
所以看到穿越古风小说里写“曼珠沙华”“彼岸花”，还好像特别高大上的样子，不用怀疑，请尽情地鄙视作者吧。。。
2. 曼陀罗华也是来源于佛经。
法华光宅疏一曰：“曼陀罗华者，译为小白团华。摩诃曼陀罗华者，译为大白团华。”
不过这个花名，中国古代倒是有。所以只要到古籍里去找就可以了。
曼陀罗，春生夏长，独茎直上，高四五尺，生不旁引，绿茎碧叶，叶如茄叶。八月开白花，凡六瓣，状如牵牛花而大。（清·陈淏子《花镜》)
——云何曼陀罗华? ——白圆华，同如风茄花。(《妙法莲华经决疑》)
《本草纲目》也有相关记载，并录其药效。曼陀罗属植物全株含生物碱，对于人体的神经系统会产生毒理作用。
曼陀罗一般是紫白二色，有重瓣。夏秋季节，田间多见。并不稀奇的。
茄科另有一属名为Brugmansia，中文译作“木曼陀罗属”；与草本的曼陀罗属相对应，是高度逾人的灌木或小乔木植物。在某些分类系统中本属与曼陀罗属Datura合并，基本可以通称曼陀罗。
P.S. 金庸的“曼陀山庄”以为曼陀罗=茶花，为王象晋《二如亭群芳谱》之讹传，误。 J.K.罗琳在她的哈利波特系列中写到的那种根似人形会尖叫的曼德拉草mandrake，因为名称发音与曼陀罗类似，且都有“风茄”的别名，所以部分翻译以为是曼陀罗，误。
【12.27补】
评论区和其他回答里，有同学提到白花石蒜Lycoris albiflora，认为也可以称为“曼陀罗华”。这个吧我觉得就是开放性的问题了，因为双方都有充足的理由。
——正方：“曼陀罗华”和“曼珠沙华”最早在佛经里出现，确实是对应的。既然红花石蒜是“赤团华”，那白花石蒜就应该是“白团华”。（其实我以前也是这么认为的。）
——反方：鉴于红花石蒜=曼珠沙华的说法是来自日本民间风俗（楼下提到的卖花人躺枪啊，这事和他们没有关系），但日语里普遍称白花石蒜为“白花曼珠沙华”。我觉得这就算是对“曼陀罗华”选择性无视的意思了。。。
最重要的是，曼陀罗属是《中国植物志》官方确定的名称，并且在他们的介绍中也提到了相关释义。所以我还是认为应该以之为准。
我个人大概底线比较低，觉得愿意的话称呼白花石蒜为曼陀罗华也未尝不可。。毕竟说得通。但是要是把其他的什么山茶啊荼蘼啊昙花啊完全不相干也不相像的牵扯起来，那就不对了。。
【12.27又补】
关注的人越来越多了嘛，再提供几个花边新闻。
——石蒜在日本的别名有“幽灵花”“地狱花”“死人花”。
——荼蘼花和曼陀罗、曼珠沙华、彼岸花，都完全没有任何关系。关于这个可以再写一大篇考证，不展开论述。
——王菲曾有一首歌，名为《彼岸花》。此歌为2001年《寓言》专辑所收录，当时写歌词的林夕为其进行了一段注解，其中提到：“彼岸花，佛家语……开到荼蘼，无爱无恨的土壤才能再萌芽开花。”
（大意如此吧，那么多年前的磁带我也记得不是非常清了。。。）
“开到荼蘼”本身为成语，表示好事将尽。与“彼岸花”之说法并无任何联系，林夕只是随手一写。大约是早年互联网上的粉丝当了一回事，遂有将荼蘼花与彼岸花混淆的以讹传讹。
后来。。。后来的事情大家就都知道了。
——以《彼岸花》为名的除王菲歌曲外，另有小津安二郎电影，安妮宝贝小说。但无论他们当中的哪一位，都是将其作为抽象意念。可见完全是不到位的粉丝/观众/读者 附会，创作本身并无过错。
——曼陀罗没有黑色，绝对没有。彼岸花也没有。曼珠沙华也没有。荼蘼也没有。只有玫瑰牡丹郁金香这些我们俗人才看得上的花中才有红到发紫紫到发黑的黑色。
——佛教中涉及花卉多抽象，还有“优昙钵华”等多处案例。那都是天界的事情，你我凡人不必缘木求鱼。
——石蒜与曼陀罗属植物均剧毒。不要拿生命开玩笑。
大家别再被那些乱七八糟的网络段子骗了。。。
