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全概率公式及贝叶斯公式.doc

来源：花匠小妙招时间：2025-06-14 23:35

全概率公式及贝叶斯公式

§1.4 全概率公式与贝叶斯公式教学对象：数学专业本科生教学目标：让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用课型：新授课课时： 1课时重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实际中的应用教学方法：讲授法，情境问题法教学安排：（1）课堂导入（2）讲授新课、举例（3）拓展与思考（4）思考（5）布置作业教学过程：给出引例，导入新课在前面的学习中，我们已经熟悉了求概率的几种方法：频率方法、古典方法和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时，这些方法用起来就显得力不从心了。引例小王要去外地出差几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾。若已知如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为0.8，如果几天内邻居忘记浇水，花存活的概率为0.3，假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概率均为0.5，问：几天后他回来花还活着的概率。讨论：这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗？【评析】对此类较复杂的概率问题，用我们以前的知识就解决不了了。讲授新课在上例中，事件“花活着”有两种情况可以导致它发生：记得浇水和忘记浇水，而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分，称为一个划分，具体的定义如下：划分定义1 设，且满足 ①（完全性）； ②对，（互斥性）。则称构成的一个划分。【课堂提问】能举出日常生活中划分的例子吗？最简单的划分是怎样的？仔细观察上图，当构成的一个划分，是否也将任一个事件划分成了若干个互不相容的部分？它们如何表示？【评析】一块玻璃摔在地上破碎了，各个碎片就是原来玻璃的一个划分。最简单的划分就是和. 当构成的一个划分，也将任一个事件划分成了若干个互不相容的部分，它们分别表示为，当然，它们中间可能有的是。全概率公式在上例中，设=“记得浇花”， =“忘记浇花”，则和就构成了的一个划分，设事件=“花还活着”，则也被和划分为两个互不相容的部分：。由前面概率的性质知道： =0.8+0.3 =0.55。性质1.4.3（全概率公式）设为样本空间的一个划分，如果，则对任一事件有 . 证明：略【例题1】某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？解：设=“他是谨慎的”， =“他是一般的”， =“他是冒失的”，则构成了的一个划分，设事件=“出事故”，由全概率公式： =0.125。 3.贝叶斯公式在“浇花”的例子中，我们反过来思考这样一个问题：假若小王回来，发现花还活着，那么，邻居记得浇花的概率是多大？即已知结果，要求这个结果是由某种原因所导致的概率，这就是贝叶斯公式解决的问题。性质1.4.4（贝叶斯公式）设是样本空间的一个划分，则证明：略。回到上面的例子中，可以求出当发现花还活着，邻居记得浇花的概率【例题2】某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？【猜猜看】师：评大家的直觉，此概率大概为多少？生：…… 师：我们用贝叶斯公式计算一下，看看谁猜得更接近些。解：记事件“被检查者患有肝癌”， “检查结果成阳性”，由假设， ,,,,由贝叶斯公式，得【思考】这个结果多少让人觉得惊讶，既然检查结果成阳性真的患肝癌的概率只有0.284，如何确保诊断的无误呢？对！方法就是——复诊！复诊时，此人患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284。这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患病的概率进行了修正，因此将由贝叶斯公式求出的概率成为修正概率。假若第二次检查还是呈阳性，我们类似可以计算出他患肝癌的概率上式表明：如果第二次复查结果仍然呈阳性，那么他患病的概率就达到了99.7%，此例说明了复查可以提高诊断的准确性。课堂小结全概率公式——由因求果，贝叶斯公式——执果寻因