贪心算法解决木板切割问题

一、问题引入

农夫约翰为了修理栅栏，要将一块很长的木块切成N块。准备切成的长度分别是L1、L2、、、，LN,未切割前的木板长度切好为切割后木板长度的总和。每次切断木板时的开销是这块木板的长度。（1 ≤ N ≤ 20000，0 ≤ Li ≤ 50000）

二、解题思路

由于N的值非常大，不可能枚举所有情况再求解，必须用一种比较高效的算法。木板的切割循序不确定，看似自由度很高，是先选择切出较短的，还是切较长的。如果我们把一种完全切割后的情况列举出来，会发现可以用贪心算法

惊奇的发现，这种切法的切割费用之和 == 所有非叶子节点权值和 == 叶子节点的权值 * 深度（根节点深度为0）

即 33 = 15 + 7 + 8 + 3 = 3*2 + 4*2 + 5*2 + 1*3 + 2*3

问题转化为，已知所有的叶子节点和根节点，求叶子节点的权值 * 深度和的最小值。

显然，使权值大的深度小，权值小的深度大。于是，此时的最佳切割方法应该具有如下性质：

　　　　最短版和次短板应该是兄弟节点

这一性质在切割过程中始终成立，反过来，我们可以根据这种性质建立起对应的二叉树。即每次合并最小的，合并后