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Python实现水仙花数高效查找算法与应用实例详解

来源：花匠小妙招时间：2025-05-20 12:26

引言

水仙花数（Narcissistic number），又称为自恋数，是指一个n位数，其各位数字的n次方和等于该数本身。例如，153是一个三位数，且1^3 + 5^3 + 3^3 = 153，因此153是一个水仙花数。本文将深入探讨如何使用Python高效地查找水仙花数，并提供一些有趣的应用实例。

一、水仙花数的定义与特性

1.1 定义

一个n位数，如果其各位数字的n次方和等于该数本身，则称其为水仙花数。数学表达式如下：

[ a_0 times 10^0 + a1 times 10^1 + ldots + a{n-1} times 10^{n-1} ]

满足：

[ a_0^n + a1^n + ldots + a{n-1}^n = a_0 times 10^0 + a1 times 10^1 + ldots + a{n-1} times 10^{n-1} ]

1.2 特性水仙花数较为稀有，特别是随着位数的增加，水仙花数的数量急剧减少。三位数的水仙花数有153、370、371和407。

二、Python实现水仙花数查找

2.1 基本思路 确定范围：根据需要查找的位数，确定数字的范围。 拆分数字：将每个数字拆分成其各位数字。 计算n次方和：计算各位数字的n次方和。 比较结果：将计算结果与原数进行比较，如果相等，则该数为水仙花数。 2.2 代码实现

def is_narcissistic(number): # 将数字转换为字符串，以便拆分 num_str = str(number) num_len = len(num_str) # 计算各位数字的n次方和 sum_of_powers = sum(int(digit) ** num_len for digit in num_str) # 判断是否为水仙花数 return sum_of_powers == number def find_narcissistic_numbers(start, end): narcissistic_nums = [] for num in range(start, end + 1): if is_narcissistic(num): narcissistic_nums.append(num) return narcissistic_nums # 查找三位数的水仙花数 print(find_narcissistic_numbers(100, 999))

三、高效查找算法

3.1 问题分析

对于较大的数字，基本算法的效率较低。可以通过以下方法进行优化：

预计算幂：预先计算0-9的n次方，避免重复计算。 组合生成：使用组合生成可能的数字，减少遍历范围。 3.2 代码实现

from itertools import product def precompute_powers(n): return [i ** n for i in range(10)] def find_narcissistic_numbers_efficient(n): powers = precompute_powers(n) narcissistic_nums = [] for digits in product(range(10), repeat=n): if digits[0] == 0: # 排除前导0 continue num = sum(powers[digit] for digit in digits) if num >= 10**(n-1) and num < 10**n and is_narcissistic(num): narcissistic_nums.append(num) return narcissistic_nums # 查找三位数的水仙花数 print(find_narcissistic_numbers_efficient(3))

四、应用实例

4.1 统计水仙花数的分布

def count_narcissistic_numbers up_to(max_digits): counts = {} for n in range(1, max_digits + 1): nums = find_narcissistic_numbers_efficient(n) counts[n] = len(nums) return counts # 统计1到6位数的水仙花数分布 print(count_narcissistic_numbers_up_to(6)) 4.2 生成水仙花数表格

def generate_narcissistic_table(max_digits): table = [] for n in range(1, max_digits + 1): nums = find_narcissistic_numbers_efficient(n) table.append((n, nums)) return table # 生成1到6位数的水仙花数表格 for n, nums in generate_narcissistic_table(6): print(f"{n}位水仙花数: {nums}")