Strongart数学笔记：浅谈叶状结构的微分几何学

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浅谈叶状结构的微分几何学(2014-08-3013:56:24)

约定：本文中提到的流形都是光滑的。

简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。下面看流形上叶状结构的技术性定义，在n维流形M的余维q的叶状卡（foliationatlas）（0≤q≤n）指M的卡f_i：U_i→R^n=R^（n-q）×R^q，其卡替换同胚局部形如：

f_ij（x，y）=（g_ij（x，y），h_ij（y））

M的余维q的叶状结构就是指M上的最大n-q维叶状卡。各叶状卡内f_i^（-1）（R^（n-q）×{y}），y∈R^q的连通分支称为板（plaque），在流形上连成整体的板称为叶（leaf），所有的叶给出了M上也叶状结构F，带叶状结构F的流形M称为叶状流形（foliatedmanifold），记作（M，F）.实际上，M内的叶定义出一个等价关系：x～yiffx与y位于同一个叶。由此可以作商得到叶空间M/F，称为叶状结

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