常微分方程I ODE的例子3 生态学模型：Malthus增长模型、Lotka

常微分方程I ODE的例子3 生态学模型：Malthus增长模型、Lotka-Volterra模型

在数学生态学中，建立常微分方程模型的思路主要就是：
变 化 率 = 输 入 − 输 出 变化率=输入-输出 变化率=输入−输出

例1 Malthus增长模型
用 x ( t ) x(t) x(t)表示population of a species at time t，则
x ˙ = r x , r = b − d dot{x}=rx,r=b-d x˙=rx,r=b−d

其中 b b b表示birth rate， d d d表示death rate， r r r表示intrinsic growth rate，这个方程的解是
x ( t ) = x 0 e r ( t − t 0 ) x(t)=x_0e^{r(t-t_0)} x(t)=x0​er(t−t0​)

其中 ( t 0 , x 0 ) (t_0,x_0) (t0​,x0​)是初值。Malthus的论断是人口增长是等比型的，粮食的增长是等差型的，所以随着时间推移，人均粮食逐渐降低，当人口增长到人均粮食位于养活一个人的最低水平时，社会就陷入了Malthus陷阱，这时的均衡是人口较多，人均粮食刚刚够，要打破这个陷阱，一种可能性是引入新的作物。

例2 Lotka-Volterra模型
Malthus的模型并不能完全cover他的论述，我们可以对他的模型做一些简单修正。Verhulst建立了Logistics Equation，在Malthus增长模型引入了资源约束，从而把种群内竞争引入了模型
x ˙ = r x − a x 2 dot{x}=rx-ax^2 x˙=rx−ax2

Lotka-Volterra模型在Logistics Equation的基础上引入了食物链，即同时考虑捕食者与被捕食者的population，并加入交互项表示它们之间的捕食关系：

{ x ˙ = a x − b x y y ˙ = c x y − d y {˙x=ax−bxy˙y=cxy−dy

{ x˙=ax−bxyy˙​=cxy−dy​

这里的 a a a表示被捕食者的增长率， b b b表示被捕食率， c c c表示捕食者因为捕食获得的population增益， d d d表示捕食者的死亡率；

另一种Lotka-Volterra模型是
{ x ˙ = r x ( 1 − x k ) − b x y y ˙ = c x y − d y {˙x=rx(1−xk)−bxy˙y=cxy−dy

{ x˙=rx(1

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