若m>0,n>0,m的3次方加n的3次方=2.用反证法证明：m+n小于等于2设a不等于b,解关于x的不等式a的平方x加b的平方(1

问题标题：

若m>0,n>0,m的3次方加n的3次方=2.用反证法证明：m+n小于等于2设a不等于b,解关于x的不等式a的平方x加b的平方(1-x)大于等于[ax+b(1-x)]平方

更新时间:2024-12-20 22:13:33

问题描述：

若m>0,n>0,m的3次方加n的3次方=2.用反证法证明：m+n小于等于2

设a不等于b,解关于x的不等式a的平方x加b的平方(1-x)大于等于[ax+b(1-x)]平方

李锋祥回答：

　　证明：假设m+n＞2 　　则2=m^3+n^3=(m+n)^3-4mn*(3/4)(m+n)≥(m+n)^3-(m+n)^2*(3/4)(m+n) 　　=[(m+n)^3]/4＞(2^3)/4=2 　　2＞2显然不正确 　　故假设不对,故原命题成立 　　a^2x+b^2(1-x)≥[ax+b(1-x)]^2 　　等价于 　　[x+(1-x)][a^2x+b^2(1-x)]≥[ax+b(1-x)]^2 　　此为柯西不等式,由柯西不等式要求 　　x(1-x)≥0 　　故0≤x≤1 　　（证明：左右两边展开,合并同类项化简得 　　(a^2+b^2)x(1-x)≥2abx(1-x) 　　移项得(a-b)^2x(1-x)≥0 　　由于(a-b)^2＞0 　　故x(1-x)≥0）

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