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[动态规划]花店橱窗布置

来源：花匠小妙招时间：2024-09-14 11:14

题目传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1854

题目描述

某花店现有F束花，每一束花的品种都不一样，同时至少有同样数量的花瓶，被按顺序摆成一行，花瓶的位置是固定的，从左到右按1到V顺序编号，V是花瓶的数目。花束可以移动，并且每束花用1到F的整数标识。如果I < J，则花束I必须放在花束J左边的花瓶中。例如，假设杜鹃花的标识数为1，秋海棠的标识数为2，康乃馨的标识数为3，所有花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目，则多余的花瓶必须空，即每个花瓶只能放一束花。

每个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶中放入不同的花束时，会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数）来表示，空置花瓶的美学值为0。在上述的例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，可以用如下的表格来表示：

花瓶1 花瓶2 花瓶3 花瓶4 花瓶5

杜鹃花 7 23 -5 -24 16

秋海棠 5 21 -4 10 23

康乃馨 -21 5 -4 -20 20

根据表格，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看，但若放在花瓶4中，则显得很难看。

为了取得最佳的美学效果，必须在保持花束顺序的前提下，使花的摆放取得最大的美学值，如果具有最大美学值的摆放方式不止一种，则输出任何一种方案即可。

输入格式：
输入文件的第一行是两个整数F和V，分别为花束数和花瓶数（1≤F≤100，F≤V≤100）。接下来是矩阵Aij,它有I行，每行J个整数，Aij表示花束I摆放在花瓶J中的美学值。

输出格式：
输出文件的第一行是一个整数，为最大的美学值；接下来有F行，每行两个数，为那束花放入那个花瓶的编号.

题解:

本题用动态规划来做,本蒟蒻的算法太辣鸡,O(n^3),仅供参考。
dp[i][j] 表示第i朵花放在第j个花瓶里所产生的最大美学值。
很明显，i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-170"><</script>j的情况是不存在的，因为不会有足够的花瓶给前面的花放。
那么dp[i][j] 怎么由上一种情况转移而来呢？
如果第i朵花放在了第j个花瓶，那上一枝花只能插在(i-1,j-1)这个区间里，暴力枚举出dp[i-1][k]的最大值即可.
状态转移方程：

dp[i][j]=max(dp[i−1][i−1],dp[i−1][i],dp[i−1][i+1]....,dp[i−1][j−1])" role="presentation">dp[i][j]=max(dp[i−1][i−1],dp[i−1][i],dp[i−1][i+1]....,dp[i−1][j−1])

最后要输出摆放方案，从最后一朵花倒回去，看它是从哪上一个值转移过来的，存下这个值得位置即可

代码

#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #define inf 99999999 #define maxn 150 using namespace std; int bt[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],choice[maxn]; int f,v; int main() { scanf("%d%d",&f,&v); for(int i=1;i<=f;i++) { for(int j=1;j<=v;j++) { scanf("%d",&bt[i][j]); if(i==1) dp[i][j]=bt[i][j]; else dp[i][j]=-inf; } } for(int i=2;i<=f;i++) { for(int j=i;j<=v;j++) { int maxx=-inf; for(int k=i-1;k<j;k++) { maxx=max(dp[i-1][k],maxx); } dp[i][j]=maxx+bt[i][j]; } } int ans=-inf; choice[f+1]=v+1; for(int i=f;i>=1;i--) { int pos,maxx=-inf; for(int j=i;j<choice[i+1];j++) { if(i==f) ans=max(ans,dp[i][j]); if(maxx<=dp[i][j]) { maxx=dp[i][j]; pos=j; } } choice[i]=pos; } printf("%dn",ans); for(int i=1;i<=f;i++) { printf("%d ",choice[i]); } }

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354