设X1≥0,Xn=√﹙2+Xn

问题标题：

设X1≥0,Xn=√﹙2+Xn-1﹚﹙n=2,3...),求极限limXn

 更新时间：2024-11-16 06:16:09

问题描述：

设X1≥0,Xn=√﹙2+Xn-1﹚﹙n=2,3...),求极限limXn

罗巾英回答：

　　问题一般化： 　　设X1≥0,Xn=√( a+X[n-1]) ﹙n=2,3...),求极限limXn 　　首先,对任意正整数n,xn>0； 　　其次,x1<x2.若有xk<x(k+1),则由x(k+1)=√(a+xk),x(k+2)=√[a+x(k+1)]可知,有x(k+1)<x(k+2),这说明xn是单调递增数列； 　　再次,x1=√a<√a+1.若xk<√a+1,则x(k+1)=√(a+xk)<√(a+√a+1)<√(a+2√a+1)=√a+1, 　　这说明xn是有上界的； 　　所以,当n趋于无穷时,xn的极限存在,令lim(n→∞)xn=x, 　　则 对xn=√[a+x(n-1)] 两边取极限,得 x=√(a+x), 　　x^2-x-a=0, 　　解得 x=[1+√(1+4a)]/2, 　　即 lim(n→∞)xn=[1+√(1+4a)]/2

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