【设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3•…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n．】

毕卫红回答：

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　　证明：①当n=1时，不等式成立 　　②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1 　　若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证 　　若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数 　　不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数． 　　则∵a1a2a3•…•ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1 　　现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1） 　　由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0 　　所以a1a2≤a1+a2-1…（2） 　　将（2）代入（1），得 　　（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k 　　∴当n=k时，结论正确 　　综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．

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