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相似矩阵与矩阵对角化课件.ppt（47页）

来源：花匠小妙招时间：2025-09-30 08:50

1、1一一.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 4.2 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化二二.矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵相似的条件三三.矩阵对角化的步骤矩阵对角化的步骤四四.小结与思考题小结与思考题2定义定义4.3设设 A,B都是都是n阶矩阵阶矩阵,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P 使得使得1PAPB 则称矩阵则称矩阵B是矩阵是矩阵A的相似矩阵的相似矩阵,对对A进行运算进行运算1PAP可逆矩阵可逆矩阵P 称为把矩阵称为把矩阵A变成矩阵变成矩阵B的相似变换矩阵的相似变换矩阵.或称矩阵或称矩阵A与矩阵与矩阵一一.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质记作记作A B.B相似相似,称为对称为对

2、A进行相似变换进行相似变换,211111,100112ABP 例如例如11112111121012PAP 1101B3（1）反身性）反身性：A A.（2）对称性）对称性：若：若A B.B A.（3）传递性）传递性：若：若A B.AB C.则则A C.(1)相似矩阵相似矩阵有相同的行列式有相同的行列式;相似矩阵还具有如下性质：相似矩阵还具有如下性质：注注1 矩阵相似是一种等价关系矩阵相似是一种等价关系.它具有如下性质它具有如下性质:(3)相似矩阵有相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性,当它们可逆时，它们当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似；的逆矩阵也相似；(2)相似矩阵相似矩阵有相同的行列式有相同的行

3、列式;4则则证证 (1)如果如果A B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P,有有(2)如果如果A B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，有，有所以，所以，R(A)=R(B).(4)相似矩阵的幂仍相似即若相似矩阵的幂仍相似即若A B，则，则Ak Bk（k为任意非负整数为任意非负整数)；(5)相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值.1BP AP 1BPAP 1PA P 1PA PA 1BP AABP 即即51BPAP 1111111()PAPBPA P 若若A与与B均可逆，因为均可逆，因为A B，故存在可逆矩阵，故存在可逆矩阵P，使得使得(3)因为因为R(A)=R(B)，因此矩阵，因此矩阵A与

4、与B同时可逆同时可逆或不可逆或不可逆当当k为正整数时，若为正整数时，若 (4)当当 k=0时，时，A0=B0=E，所以，所以 A0 B 0 由由数学归纳方法知，数学归纳方法知，则有则有1,BPAP 则则1()kkBP AP 11111()()()()PA PPA PPPPA PPAP 1111()()()()P AP P APP AP P AP 1kPA P 6即即Ak B k(5)设设A B，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，有，有1BPAP 1EBEPAP 即即111=()()PE PP APPEA P 1=PEA P =EA 相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值相似矩阵有相同的特

5、征多项式故而有相同的特征值注注1 1 虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一特征值的特征向量不一定相同特征值的特征向量不一定相同.7二二.矩与对角矩阵相似的条件矩与对角矩阵相似的条件对对n阶方阵阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵如果可以找到可逆矩阵P,使得使得为对角阵为对角阵,就称为把方阵就称为把方阵A对角化对角化.1PAP 定理定理4.5 n 阶矩阵阶矩阵 A与对角阵相似（可对角化）的与对角阵相似（可对角化）的充要条件是矩阵充要条件是矩阵 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证证1,PPAP 假假设设存存在在可可逆逆阵阵使使为为对

6、对角角阵阵 12,.nPPXXX 将将按按列列分分快快为为1.矩阵矩阵A与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件8 121212,nnnA XXXXXX 即即 1122,nnXXX 1,PAPAPP 由由得得 1212,nnA XXXAXAXAX 所所以以 1,2,.iiiAXXin 于于是是有有 112,nXXX 9,.iiiAPXAAn 可可见见是是的的特特征征值值而而的的列列向向量量就就是是的的对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量,有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量,AnnnP反反之之由由于于恰恰好好有有个个特特征征值值并并可可对对应应地地求求得得个

7、个线线性性无无关关特特征征向向量量这这个个线线性性无无关关特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩阵阵使使得得APP12,.nPXXX又由于可逆所以线性无关又由于可逆所以线性无关1PAP 10(逆命题不一定成立逆命题不一定成立)推论推论若若n 阶矩阵阶矩阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值,则则A可对角可对角化化(A与对角阵相似与对角阵相似).注注3 定理定理4.5的证明过程还表明，与矩阵的证明过程还表明，与矩阵A相似的相似的对角阵不唯一（对角阵中主对角元的顺序可以变对角阵不唯一（对角阵中主对角元的顺序可以变动），相应地，可逆矩阵动），相应地，可逆矩阵P也不唯一也不唯一注注2 若若

8、A,则则的主对角元素即为的主对角元素即为A 的特征值的特征值，相似标准形相似标准形.如果不计如果不计 k的排列顺序的排列顺序,则则唯一唯一，称之为矩阵称之为矩阵A的的11推论推论2 n 阶矩阵阶矩阵 A与对角阵相似的充要条件是与对角阵相似的充要条件是 A的的每个每个k重特征值重特征值恰好对应有恰好对应有k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量(即矩阵即矩阵 E A的秩为的秩为n k）.三、矩阵对角化的步骤三、矩阵对角化的步骤将矩阵对角化的步骤为：将矩阵对角化的步骤为：(1)计算计算n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式的特征多项式;EA (2)求出特征方程求出特征方程的全部根的全部根,它们就

9、是矩阵它们就是矩阵A的全部特征值；的全部特征值；0EA 12(3)设设是是A的全部不同的特征值对于每的全部不同的特征值对于每11s，,，,一个一个设其为设其为ki 重特征值重特征值,求矩阵求矩阵(iE A)(1,2,)iis 的秩的秩ri 如果：如果：a存在一个存在一个i有，有，n-ri ki,则则A不相似对角阵；不相似对角阵；对任意的对任意的i有，有，n-ri ki,则则A相似对角阵相似对角阵;(4)解齐次线性方程组解齐次线性方程组()iEA X求出它的一个基础解系求出它的一个基础解系 1,2,(1,2,)iiiikis 就是就是A的属于特征值的属于特征值 i 的一组极大线性无关特征向量的

10、一组极大线性无关特征向量.13(5)令令111,1211,2(,),skssskP 则则111.ssPAP 14例例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1)224242A 212(2)533102A 解解 2270 122(1)2+2424+2EA 15得基础解系得基础解系12221,0.01XX 122 当当时时,2EA X 1222244244EA 122000000 12322xxx 得得得得1232,7 齐次线性方程组为齐次线性方程组为16齐次线性方程组为齐次线性方程组为 7EA X 37 当当时时，8227254245EA 得基础解系得基础解系3

11、122X 132312xxxx 110201100017123221,1020012XXX 因因为为123,XXX线性无关线性无关即即A有有3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,所以所以 A 可以对角化可以对角化.212(2)533102EA 310 1231 所所以以所所以以18得基础解系得基础解系11,1X 所以所以 A不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.EAX 1231 当当时时，312523101AE 101011000 齐次线性方程组为齐次线性方程组为19解解460350361EA 2120 例例2 设设460350,361A 若能对角化若能对角化,求出可逆矩阵求出可逆矩阵P使

12、得使得P-1-1AP为对角阵为对角阵.问问A能否对角化？能否对角化？1231,2.所所以以20得基础解系得基础解系121,0X 2001X 齐次线性方程组为齐次线性方程组为121 当当时时，EA X 360360360AE 120000000 12 2xx 得得齐次线性方程组为齐次线性方程组为32 当当时时，2EA X 2011010,011 因因为为216602330363EA 101011000 1323xxxx 得基础解系得基础解系3111X 所以所以A可以对角化可以对角化.123,XXX线性无关线性无关,所所以以22令令 123201,101011PXXX则有则有1100 010002

13、PAP 23 注注5 若若 312120,110,101PXXX 即矩阵即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应互对应12 1.1PAP 则有则有把一个矩阵化为对角阵把一个矩阵化为对角阵,不仅可以使矩阵运算简化不仅可以使矩阵运算简化,而且在理论和应用上都有意义而且在理论和应用上都有意义.24可对角化的矩阵主要有以下几种应用：可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由矩阵由矩阵A的的特征值、特征向量反求矩阵特征值、特征向量反求矩阵A.例例3 已知方阵已知方阵A的特征值是的特征值是1230,1,3,相应的特征向量是相应的特征向量是1231111,0,2

14、,111 求矩阵求矩阵A.解解因为特征向量是因为特征向量是3维向量维向量,所以矩阵所以矩阵A是是3阶方阵阶方阵.又因为又因为A有有3个不同的特征值个不同的特征值,所以所以A可以对角化可以对角化.25即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P,使得使得1PAP 其中其中111102,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 261AP P 所所以以 11133311101110210221113111636 110121011 272.求方阵的幂求方阵的幂例例4 设设求求45,23A 100.A解解4523EA (2)(1)0121,2.所所以以可见可见,A可以对角化可以对角

15、化.齐次线性方程组为齐次线性方程组为11 当当时时,EA X 1100 5522EA 系数矩阵系数矩阵12.xx 21x 令令111X 得基础解系得基础解系28齐次线性方程组为齐次线性方程组为22 当当时时，2EA X 2500 25(2)25EA 系数矩阵系数矩阵1252xx 得基础解系得基础解系:21x 令令252X 令令12(,)PXX 1512 求得求得1251311P 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P,使得使得112PAP 291AP P 所所以以 1001001APP 10015102513120211 1001001525(1)013121102 10010010110125255

16、2132252 303.求行列式求行列式例例5 设设A是是n阶方阵，阶方阵，2,4,2n计算计算3.AE 解解方法方法1()3f xx设设因为因为A的特征值是的特征值是2,4,2n,2,ii 即即3AE 所所以以的特征值是的特征值是()23ifi 1323(1)1 3(23)niAEin 所所以以是是A的的n个特征值个特征值,求求A-3E的全部特征值的全部特征值,再求乘积即为行再求乘积即为行列式的值列式的值.31方法方法2可逆矩阵可逆矩阵P,使得使得1242PAPn 1AP P 所所以以1133AEP PPEP即即1(3)PE P 13PE P 3E 已知已知A有有n个不同的特征值个不同的特

17、征值,所以所以A可以对角化可以对角化,即存在即存在32234323n (1)1 3(23)n 4.判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解解方法方法1 13()3,Bf AAAE令令3()31,f xxx例例6 已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,2,3,设设23,BAAE问矩阵问矩阵B 能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？所以所以B的特征值为的特征值为33(1)1,(2)3,(3)19fff 3阶矩阵阶矩阵B有有3个不同的特征值个不同的特征值,所以所以B可以对角化可以对角化.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P,使得使得1123PAP 方法方法2所所以以因为矩阵因为矩阵A有有3个不同的特征值

18、个不同的特征值,所以可以对角所以可以对角化化,34113(3)P BPPAAE P1311(3)PA PPA PP EP1111()()()3PAPPAPPAPPAPE31112321331 1319 所以矩阵所以矩阵B能与对角阵相似能与对角阵相似.35例例7 设设n 阶方阵阶方阵A，B有有n个互异的特征值个互异的特征值,n阶方阵阶方阵B 与与A有相同的特征值有相同的特征值,证明证明 A与与 B相似相似.证证设方阵设方阵A的的n个互异的特征值为个互异的特征值为12,n 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P1 1,使得使得12111nPAP 12,n 又又也是矩阵也是矩阵B的特征值的特征值,36所以

19、存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵P2,使得使得12122nPBP 111122PAPPBP 所所以以112112P PAP PB 即即1111212()()P PA P PB 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵1PAPB 112P PP 故故A与与B相似相似.使得使得37充分性充分性.因为因为n 阶矩阵阶矩阵A的每个的每个k重特征值对应有重特征值对应有k个线性无关个线性无关的特征向量所以的特征向量所以A的所有特征值对应的线性无关的特征的所有特征值对应的线性无关的特征向量合起来刚好有向量合起来刚好有n个个,由定理由定理4.5,A与对角阵相似与对角阵相似.例例8 设方阵设方阵A与与B相似相似,且且20020

20、0001,0001001AByx (1)求求x与与y;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵P,使得使得 1.PAPB 38解解 (1)因为方阵因为方阵A与与B相似相似,故故EAEB200200 0100100yx 即即0 0+1+1 22212(1)xyy 从而从而比较等式两边比较等式两边的系数的系数,得得01xy，200200001,010010001AB 所所以以 39 (2)由矩阵由矩阵B知知A的特征值为的特征值为2,1,-1,且可得且可得A属于特属于特征值征值2,1,-1的线性无关特征向量分别为的线性无关特征向量分别为1231000,1,1011XXX -1123,PXXXPP APB 令令

21、可可逆逆且且例例9 已知已知111X 2125312Aab 是矩阵是矩阵特征向量特征向量.(1)求求 a,b及及 X 所对应的特征值；所对应的特征值；（2）问）问A能否能否与对角阵相似与对角阵相似.40解解（1）由）由 AX=X,得得解得解得13,0-，ab 2121153111211ab 2 125312ab (2)由由3212533(1)0102EA 知知是矩阵是矩阵A的三重的三重特征值特征值.1=-41由于由于312()5232101REAR三三.小结与思考题小结与思考题1.1.理解相似矩阵的定义及其性质；理解相似矩阵的定义及其性质；若若A与与B是相似矩阵是相似矩阵,则则存在可逆矩阵

22、存在可逆矩阵P 使得使得1PAPB 从而从而三重三重特征值特征值对应的线性无关特征向量的个数对应的线性无关特征向量的个数只有一个只有一个,故故A不能与对角矩阵相似不能与对角矩阵相似.1=-42思考题思考题1123223323223AAA设设A A为三阶矩阵，为三阶矩阵，123,是线性无关的三维列向量是线性无关的三维列向量,且满足且满足2.掌握掌握n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件;n 阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是矩阵与对角阵相似的充要条件是矩阵A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.3.掌握将掌握将n阶矩阵阶矩阵A化为对角矩阵的方法化为对角矩阵的方法

23、.43(I)求矩阵求矩阵B,使得使得123123(,)(,);AB （III）求可逆矩阵）求可逆矩阵 P,使得使得1PAP 为对角矩阵为对角矩阵.思考题解答思考题解答123123100(,)(,)122113A 由由，知知100122113B （II II）求矩阵）求矩阵A A的特征值；的特征值；(I)44123,因因为为是线性无关的三维列向量是线性无关的三维列向量,123,C 可逆可逆,所以所以1CACB 即矩阵即矩阵A与与B相似相似,由此可得矩阵由此可得矩阵A与与B有相同的特有相同的特征值征值.由由 2100122(1)(4)0113EB 得矩阵得矩阵B的特征值的特征值,也即矩阵也即矩阵A

24、的特征值的特征值 1231,4可知矩阵可知矩阵（II）45(III)对应于对应于121 (E-B)X=,得基础解系得基础解系 12(1,1,0),(2,0,1)TTXX 对应于对应于34 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 (4E-B)X=,得基础解系得基础解系3(0,1,1)TX 令矩阵令矩阵 123120101011QXXX解齐次线性方程组解齐次线性方程组46则则 1100010004Q BQ 1111()()Q BQQ CACQCQA CQ因因为为记矩阵记矩阵 123120101011PCQ 121323,2,故故P 即为所求的可逆矩阵即为所求的可逆矩阵.47 20,P 又又因因为为 .APP所所以以1P 所所以以存存在在.11 .P APP P 故故有有本题启示本题启示:问题问题可逆矩阵可逆矩阵P是否唯一？对角矩阵是否唯一？对角矩阵是否唯一？是否唯一？2.提供了一种求提供了一种求Ak的方法的方法,即即.1AP P,其中其中为对角阵为对角阵.1.通过求通过求A A的特征值、特征向量有可能把的特征值、特征向量有可能把A写成写成 111kkkAP PP PPP