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ATAx=0与Ax=0同解

来源：花匠小妙招时间：2024-12-23 14:53

线性代数总结与备忘

u010598445的专栏

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rank(A)=rank(AAT)rank(A)=rank(AA^T) 证明：参考设 A是 m×n 的矩阵。可以通过证明 Ax=0 和A’Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A’A)=r(A) 1、Ax=0 肯定是 A’Ax=0 的解，好理解。 2、A’Ax=0 → x’A’Ax=0 → (Ax)’ Ax=0 →Ax=0 故两个方程是同解的。同理可证明$A^TAX = A^Tb$有公共解

Bing's Blog

10-302421

这是很有趣的一道推断题，结合考察很多有趣的结论。首先我们需要明确，ATbA^Tb是一个向量，因此，待证的结论本质是：非齐次方程组有解。因此，问题化为求证：r(ATA)=r(ATA|ATb)r(A^TA) = r(A^TA|A^Tb)那么如何思考求证这个命题呢？我们想，如果ATbA^Tb可以是由ATA^T的列向量表示，那么问题是否可以简单化？因为我们特别证过：ATA,A是等秩的。A^TA,A是等秩的。【线性代数公开课MIT Linear Algebra】第十四课正交，再次回到Ax=b

weixin_30446197的博客

10-30138

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~ 正交 orthogonal 正交就是垂直垂直的起源：三角形，毕达哥拉斯发现的勾股定理 1.向量的正交如何知道向量是否正交？我们从勾股定理得到启发，满足勾股定理的为直交三角形即两边垂直(正交)，推广至向量我们知道两向量的inner product为0...线性代数证明r(A的转置·A)=r(A)

呵呵哒!的博客

10-246808

证明r(A的转置·A)=r(A) 证明齐次线性方程组A的转置·Ax=0与Ax＝0同解行列式和矩阵相关最新发布

kemmouv的博客

08-261394

设有两个向量组A：a1a2a3...及B：b1b2b3b4....若B组中每个向量都能由向量组A线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示则称两个向量组等价1.r(A,B)=r(A) <=> B组可有A组表示2.r(A,B)=r(B) <=> A组可由B组表示3.r(A,B)=r(A)=r(B),则称两个向量组相互等价（要求较高）矩阵相等则只要求r(A)=r(B) （要求较低）4.AB矩阵等价即等型秩相等即可（经过初等变换）线性代数（5）—— 向量组的秩和矩阵的秩

佚失的诗篇

12-141万+

向量组的秩和矩阵的秩证明法方程组ATAx＝ATb与min||Ax-b||₂+同解。

01-11

根据引用[1]和引用的内容，我们可以证明方程组ATAx=ATb与min||Ax-b||₂+同解。首先，我们知道最小二乘解是通过最小化残差向量的二范数来得到的。即，我们要找到一个向量x，使得||Ax-b||₂最小。我们可以定义一个...【线性代数公开课MIT Linear Algebra】第十五课 Ax=b与投影矩阵

三记的专栏

11-021166

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~ 老师说要让这一节课 immortal 名垂青史，不过明显这节课依然还是前菜。从投影说起投影？what？就是我们初中学的如何将一条线段投影到另一条线段上啦~ 那…怎么突然讲这个？故事还要从Ax=bAx=b无解的时候说起，当其无解的时候，我们求的解是什么？我们想要的是“最优解”，即这个解对于原线性代数系列讲解第八篇投影及AX=b（无解情况）求近似解及最小二乘法

bensss20112011的博客

12-073720

投影我们先考虑直线投影到直线的情况，我们会将b⃗vec bb投影到p⃗=xa⃗vec p=xvec ap=xa。我们可以利用发现e⃗vec ee和p⃗vec pp垂直，因此我们可以利用向量正交性写出一下式子，我把向量上标去掉了，你们知道xxx是数即可。 aT(b−xa)=0→xaTa=aTb→x=aTbaTaa^T(b-xa)=0rightarrow xa^Ta=a^Tbr...【线性代数公开课MIT Linear Algebra】第十六课 Ax=b的解、最小二乘法与矩阵

三记的专栏

11-045365

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~ 基本子空间与投影矩阵上一节课我们已经了解了投影矩阵 projection matrix, P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^T 结合我们过去学习到的四个基本子空间的内容，对于PbPb即b的投影： - 若b在A的column space 则其投影为其本身b - 若矩阵的秩和向量组的秩

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09-251万+

1.矩阵的秩 2,.向量组的秩 3.关系关系矩阵的秩就是向量组的秩即3秩相等定理 1.定义不同 1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念，它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。 2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，证明AX=0的最小二乘解是ATA最小特征值对应的特征向量

青菜虫虫的专栏

02-108995

坑爹的,csdn没法编辑公式,我只能在word上写好截图了。因此,如果能构造AX=0，则最小二乘解就直接求ATA的最小特征解就可以了，这里举一个平面拟合的例子：假如有一束点云,如何从点云里把平面求出来。啥也不说了，上代码吧： Bool ComplanationFit(Navinfo::Engine::Geometries::Coordinate *pPoints, Int线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义热门推荐

yewei11的专栏

11-225万+

（下面以A(T)表示A的转置.）先从奇异值说起.我个人的理解,奇异值是特征值的一种推广.因为只有方阵才可能具有特征值,对于实际遇到的一些问题（比如最小二乘问题）,往往遇上长方阵,长方阵根本没有特征值.因而就有必要对特征值做推广,这就是奇异值. 再看什么是奇异值.对于任意矩阵A（甚至是非方的）,A(T)A（这个时候就变成方阵了,可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值.奇异值有个特性,就是能否将两个电压源并联使用？串联可以吗？两个电流源呢？

我终于懂了（没懂）博客

09-051万+

电压源不能并联，如果直接并bai联，电du压高的会给电压低的充电，造成损坏。带上负zhi载也只有电压高的dao在工作，但是电压源能串联，总电压等于2个电压相加电流源不能串联，否则电流小的那个将被电流大的那个充电，造成损坏。但是电流源能并联，总电流等于2个电流相加 ...笔试题29——寻找两个节点的最近公共父节点，并以该父节点为根，求其子树的节点个数

修呀的博客

08-302975

题目描述：给定二叉树和两个顶点，编写一个程序，找到最近的共同祖先，并计算由最近的共同祖先生根的子树的大小。在每个测试用例中，第一行包含四个整数，V（树中的顶点数，顶点数从3到10000），E（边数）和两个顶点的索引。 E边数在第二行。每个边由两个顶点表示; 父顶点的索引始终位于子节点的索引之前。例如，连接顶点5和8的边缘由“5 8”表示，而不是由“8 5”表示。没有给出边缘的顺序。输入中的...最小二乘法求解超定方程的原理

Dang_boy的博客

03-118091

假设我们要求解一个方程AX=0AX=0AX=0 其中，A是一个n∗mn*mn∗m的矩阵，X是一个m∗1m*1m∗1的向量一般情况下，n>>m，这就是一个超定方程了，理论上无解，但是我们可以求得最小二乘意义下的解求解过程 min∣∣AX∣∣22min||AX||^2_2min∣∣AX∣∣22 ∣∣AX∣∣22=(AX)T(AX)=XTATAX||AX||^2_2=(AX)^T(...证明$r(A^TA) = r(A)$

Bing's Blog

10-305251

首先需要明确，这个证明的切入点是：方程组的解相同。1）证明r(ATA)≤r(A)r(A^TA) leq r(A)当AX=0时，ATAX=0AX = 0时，A^TAX = 0必然成立，即：ATAX=0A^TAX = 0的解，包含了AX=0AX = 0的解，就说明了ATAX=0A^TAX = 0的基础解系包含AX=0AX = 0的基础解系。因此：n−r(ATA)≥n−r(A)n-r(A^TA) ge