函数y=(x+1)/√2x+1的主要性质

函数y=(x+1)/√2x+1的主要性质

主要内容：

本文主要介绍分式复合函数y=(x+1)/√2x+1的定义域、值域单调性和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数定义域

根据函数的特征，为根式的分式函数，则有：

2x+1＞0，即x＞-1/2,

则函数的定义域为：(-1/2,+∞)。

※.函数的单调性

本题用函数的导数知识来判断函数的单调性。

因为y=(x+1)/√2x+1，

所以dy/dx=[√2x+1-2 (x+1)/2√2x+1]/(2x+1),

化简得：

dy/dx=[2(2x+1)-2(x+1)]/2√(2x+1)^3,

所以dy/dx=x/√(2x+1)^3,

令dy/dx=0，则x=0,此时有：

(1)当x∈(-1/2, 0)时，dy/dx<0,此时函数为减函数，

(2)当x∈[0，+∞)时，dy/dx≥0，此时函数为增函数。

可见，函数在该点处有最小值。

※.函数的凸凹性

对dy/dx=x/√(2x+1)^3，继续求导有：

d^2y/dx^2=[√(2x+1)^3-3x√(2x+1)]/ (2x+1)^3

=[(2x+1)-3x]/ (2x+1)^5

=-(x-1)/√(2x+1)^5

令d^2y/dx^2=0时，则x2=+1,此时有：

(1)当x∈(-1/2, +1)时，d^2y/dx^2>0,此时函数为凹函数，

(2)当x∈[+1，+∞)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数。

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