设A为m×n矩阵，且r（A）=r（.A）=r＜n，其中.A=（A⋮b）．（Ⅰ）证明方程组AX=b有且仅有n

问题标题：

设A为m×n矩阵，且r（A）=r（.A）=r＜n，其中.A=（A⋮b）．（Ⅰ）证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；（Ⅱ）若x1+x2+x3+x4＝−14x1+3x2+5x3−x4＝b2x1+x2+3x3+ax4＝1有三个线性无关解，求a，b及方

问题描述：

设A为m×n矩阵，且r（A）=r（.

A）=r＜n，其中.

A=（A⋮b）．

（Ⅰ）证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；

（Ⅱ）若

x1+x2+x3+x4＝−14x1+3x2+5x3−x4＝b2x1+x2+3x3+ax4＝1有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．

房波回答：

　　（Ⅰ） 令ξ1，ξ2…，ξn-r为AX=0的基础解系，0为AX=b的特解， 　　显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AN=b的一组解， 　　令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即 　　k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+（k0+k1+…+kn-r）η0=0． 　　上式左乘A得（k0+k1+…+kn-r）b=0， 　　因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0， 　　于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0， 　　因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系， 　　所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关． 　　若γ0，γ1，…，γn-r+1，为AX=b的线性无关解， 　　则ξ1=γ1-γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2rξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则 　　k1γ1+k2γ1+…+kn-r+1γn-r+1一（k1+k2+…+kn-r+1）γ0=0． 　　因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关， 　　所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1，为AX=0的线性无关解，矛盾， 　　故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解． 　　（Ⅱ）令A=1111435−1213a 　　

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