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脑与数学（2）

来源：花匠小妙招时间：2024-09-10 10:54

03　成人的心理数轴

长久以来，我一直为罗马数字所吸引。几个起始数字如此简单，而其他数字又复杂得令人迷惑，这看上去有点矛盾。起始的3个数字——Ⅰ（1）、Ⅱ（2）和Ⅲ（3）——所遵守的规律一目了然：有几个竖条就代表几。不过，数字Ⅳ（4）打破了这个规律，它引入了一个表面上完全看不出意义的新符号Ⅴ（5），以及一个减法运算——Ⅴ-Ⅰ，这个运算似乎是随意的，那为什么不用“6-2”“7-3”，甚至“2×2”呢？

回顾数字符号的历史，我们发现，前3个罗马数字就像是活化石，它们把我们带回到远古时代，那时人们还没有发明书写数字的方法。人们发现，想要记录他们拥有的绵羊或者骆驼的数量，只要在木棒上刻下相同数量的刻痕就可以了。这些刻痕是对计数的持久记录。事实上，这正是符号记数法最初始的形态，因为5个一组的刻痕可以代表任意5个客体。然而，这一史实更加凸显了罗马数字Ⅳ的神秘性。为什么人们放弃了这种简单实用的记数法？Ⅳ这个给读者带来注意和记忆负担的、任意的记号，又是如何取代这个普通人都能理解的、简单明了的记号的呢？更重要的是，如果真是因为某种原因，记数系统需要做一些修订，那为什么前3个数字Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ可以幸免呢？

难道这仅仅是个意外？一定有一些偶然事件影响了幸存至今的罗马数字符号的命运。然而，罗马数字Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的独特性，却具有一种超越了地中海国家历史的普遍特征。乔治·伊弗拉（Georges Ifrah）在他那本关于数字记数法历史的巨著中介绍，在所有文明中，前3个数字都是通过重复相应次数的代表“1”的符号来表示的，恰如罗马数字这样。而且，大部分的文明，甚至可能是所有文明，都会在数字大于3的时候停止使用这一规则（见图3-1）。比如，中文分别用1条、2条和3条水平横线代表数字1、2和3，却采用了一个差别相当大的符号“四”来表示数字4。再来看阿拉伯数字，尽管表面上看起来所有数字都是随意的，实际上它也遵循同一种规律。数字1是1条单独的竖杠，数字2和3实际上是书写时将2条和3条水平横杠连在一起的变形。只有4及以上的阿拉伯数字，才是真正随意的。

在世界各地，人们通过重复相应次数的相同符号来表示前3个数字。大于数字3或4时，几乎所有的文明都放弃了这种模拟记数法，这一现象表现出人类“即时”理解数字的局限。

图3-1　世界各地的模拟记数法

资料来源：重绘自Ifrah, 1994。

遍布世界的几十个人类社会最终选择了同一个解决方案。在几乎所有的社会中，前3个或4个数字都是由相应数量的记号组成，而接下来的数字基本上就是任意的符号。对于这种显著的跨文化汇集，需要一个具有普适性的解释。很明显，排列19个记号来表示数字19，对于写作和阅读都会是一个无法容忍的负担：一次写19个笔画，费时费力又容易出错，而且读者又该如何区分19与18和20呢？因此，一种比排列横杠更紧凑的记数法的出现似乎也合情合理。然而，这还是没有解释为什么所有地区的人一致选择在数字大于3或4的时候不再使用这种方法，不是5或8，也不是10。

我们很容易把这一现象与婴儿对数的辨别能力相提并论。人类婴儿可以轻而易举地区分1个对象和2个对象，或者2个对象和3个对象，但他们的能力很难超出这个范围。显然，婴儿对记数法的演变没有什么影响。我们甚至可以假设：成年人的数量辨别能力相对于婴儿也没有发生变化。其中的一个原因可能是，大于数字3后，线条符号表示的数字将不再清晰可辨，因为我们不能一目了然地区分和。

因此，罗马数字使我们能够研究，动物和人类婴儿的原始计数能力到底在多大程度上延伸到了成年。在本章中，我们旨在寻找能够带领我们回溯人类算术根基的活化石和其他线索，如罗马数字。事实上，许多迹象表明，这种对数量的原始表征在成年人身上依然存在。尽管数学语言和文化的发展使我们人类的能力远远超越了动物那有限的数字表征，但是这种原始的模块依然是我们数字直觉的核心。它对我们如何感知、构想、书写和谈论数字都有相当大的影响力。

1、2、3及其后的数字

早在一个多世纪之前，心理学家就发现，人类精确快速计数的能力有一条严格的界限。1886年，詹姆斯·麦基恩·卡特尔（James McKeen Cattell）在位于莱比锡的实验室发现，在向被试短暂呈现包含若干黑点的卡片时，如果卡片上的黑点不超过3个，他们可以准确无误地识别黑点的个数，超过这一界限，错误就会增加。继美国普林斯顿大学的沃伦（Warren）之后，法国巴黎索邦大学的贝特朗·布尔东（Bertrand Bourdon）也开发了用于准确测量对客体进行计数所需时间的新方法。1908年，布尔东在没有任何高科技实验设备的情况下，通过拼凑一些特殊的工具，以自己为被试展开实验。下文摘自他的原著：

由水平排列的亮点所表示的数字距我的眼睛1米远。一片带着矩形开口的铜板从固定高度下落，使这些亮点只在一段很短的时间内可见……为了测量反应时，我使用了一台仔细校准过的希普计时器（一种电机精密计时器，精确到千分之一秒）。在这些点可见时，通过计时器的电路是闭合的。在这个电路中有一个口腔开关：其主要组成部分是两片独立的铜叶，每片铜叶的表面都覆盖着纤维，将其与口腔隔开。我将这两片铜叶放在门牙间，紧咬的时候两片铜叶彼此接触，一旦识别出点的数量，我必须尽可能快地说出数字，这样我就必然要开口，使铜叶分离，从而切断电流。

正是有了这种简陋的设备，布尔东才发现人类视觉计数的基本规律：对1个到3个亮点计数所需的时间缓慢增加，超出此范围后所需时间突然大幅增加，同时，错误数也突然剧增。这一实验结果得到了数百次验证，至今仍然有效。人类知觉到1个、2个或3个客体所需的时间不到半秒，但超过这个范围，速度和精度都会显著下降（见图3-2）。

当集合中有1个、2个或3个元素时，对它进行计数是很快的，但若元素数大于4，计数的速度会急剧变慢，同时，错误率也开始增加。

图3-2　知觉数量的速度和精度变化趋势

资料来源：重绘自Mandler & Shebo, 1982。

对反应时曲线的仔细测量揭示出几个重要的细节。在3到6个点之间，反应时的增加呈线性，这意味着对每一个新增点进行计数所需要的时间是固定的。超过3个点时，成人每辨识1个点，需要大概200毫秒或300毫秒。这个200至300毫秒的斜率，大致相当于成人尽可能快地出声数数所需要的时间。对儿童而言，辨识的速度下降到每个数字需一两秒钟——反应时曲线的斜率以同样的幅度增加。因此，成年人和儿童都以相对缓慢的速度对超过3个点的集合进行计数。

为什么对1、2和3进行计数会这么快？这一区间内平缓的反应时曲线表明，对前3个客体集合不需要一个一个去数。识别数字1、2和3的过程似乎没有任何数数的动作。

尽管心理学家仍然在琢磨这个不数数的计数过程是如何进行的，他们还是给它起了个名字，称其为“感数”（subitization或subitizing）能力，这个词起源于拉丁文“subitus”，意为“突然”。这个名字并不恰当，因为尽管非常快速，但是感数并不是一个瞬时事件。识别3个点组成的集合大概需要0.5秒或0.6秒，这跟大声读一个单词或者识别一张熟悉面孔所需要的时间差不多。这个时间也并非恒定不变，识别从1到3的集合，用时会缓慢增加。因此，感数过程可能需要一系列的视觉操作，需要识别的数量越多，整个过程就越复杂。

这一系列操作到底是什么呢？一个被广泛接受的理论假设认为，我们识别由1个、2个或者3个对象组成的小集合之所以很快，是因为它们构成了易辨识的几何图形：1个对象是一个点，2个对象是一条线，3个对象则构成一个三角形。然而，这一假设并不能解释我们为什么对排成直线、因而不形成任何几何线索的数个对象依然可以进行感数操作。的确，没有什么几何参数能够区分罗马数字Ⅱ和Ⅲ，但是我们仍然对其进行感数操作。

心理学家拉纳·特里克（Lana Trick）和泽农·派利夏恩（Zenon Pylyshyn）发现了一种感数失败的情况，它出现在对象重叠以致很难准确觉察它们的位置时。例如，辨识同心圆的数目时，我们必须通过逐个去数才能知道有2个、3个还是4个。因此，感数过程似乎需要各个对象占据不同的空间位置——正如我们前面所看到的，这一线索对于婴儿辨别面前呈现了几件物品同样重要。

我因此相信，成人的感数过程与婴儿和动物辨别客体数量一样，依赖于负责对客体空间位置进行判断和追踪的视觉系统回路。分布在大脑枕顶区的神经元群能够迅速提取视野内客体的空间位置，并且以并行方式加工这些信息。它们只负责加工客体的位置，而忽略其特性，甚至可以表征被挡在遮屏后面的对象。因此，它们提取的信息对运用近似累加器而言，具有理想的抽象性。我相信，在感数过程中，这些大脑区域迅速地将视觉场景分割成离散的对象。接下来就可以很容易地把它们一一相加，以得出一个近似总量。我在第1章描述过我与让-皮埃尔·尚热一起开发的神经网络模型，它展现了如何通过简单的脑回路来实现这个计算过程。

为什么这一机制会导致3和4之间的不连续性？如果你还记得，我在前面讲过，累加器的准确性随着数量的增大而下降，因此，区别 n与“ n+1”要比区别n与“ n-1”的难度更大。数字4似乎是我们的累加器产生大量失误的起始值，它会与3和5相混淆。这就是为什么我们不得不在超过4以后开始数数——我们的累加器仍然会给我们提供一个大概的数量，但是这个数量无法精确到某个具体的数字。

我刚刚简述的“客体位置的并行加工”理论并不是唯一解释感数的理论。美国加州大学洛杉矶分校的心理学家兰迪·加利斯特尔（Randy Gallistel）和罗切尔·戈尔曼认为，在我们感数时，即使我们意识不到，我们对所有的元素也都是逐个去数的，但是数的速度非常快。因此，感数只是一个不需要语言参与的快速序列计数过程。尽管这有悖于直觉，但感数加工实际上需要依次注意每个对象，因而依赖的是一个序列性的、按部就班的算法。这个观点与我的假设分歧最大。我的模型认为，在感数过程中，进入视野中的所有物品被同时加工，而且不需要注意参与——这一过程在认知心理学术语中被称为“并行前注意加工”（parallel preattentive processing）。在我的神经网络模拟中，不管呈现1个、2个还是3个物品，数字探测器都会在同一时间开始响应（尽管随着输入数量的增大，探测器确实需要稍微长一点的时间来达到稳定的激活状态，从而准确给出一个精确的命名）。最重要的是，不同于戈尔曼和加利斯特尔的快速数数假设，我的数字探测器不需要通过心理“聚焦”或标记过程逐个把物品区分出来，一切都是即时而且并行发生的。

这一问题仍然悬而未决，或许能够证明感数不需要按顺序逐个注意每个物品的最好证据来自脑损伤患者：他们不能集中注意地探索视野中的环境，因而也不能数数。我曾与劳伦特·科恩（Laurent Cohen）医生在巴黎的萨彼里埃医院一起诊察过I太太，她在怀孕期间由于高血压导致脑后动脉梗死。1年后，这一损伤对她的视知觉能力造成的后遗症依然存在。I太太变得无法识别包括面孔在内的某些视觉形状，而且她还抱怨过视觉的奇怪扭曲。当我们要求她描述一个复杂的图像时，她常常会因遗漏重要的细节而无法觉察整体的含义。神经学家将这种疾病称作“组合失认症”（simultanagnosia）。这使得她无法数数。当4个、5个或者6个点在电脑屏幕上快速闪过时，她几乎总是漏数一部分。她试图去数，但是无法把注意力逐次指向每个物品。她数到大约一半的时候就会停止，因为她觉得自己已经全部数完了。另外一个患有相似疾病的患者则陷于相反的错误模式：她对自己已经数过的个体没有概念，会一直不停地一遍一遍地数下去。她会毫不犹豫地告诉我们总共有12个点，而实际上只有4个。

尽管有计数缺陷，这两位患者在对1个、2个或3个点的集合进行计数的时候几乎没有任何困难。她们对小数字的反应非常迅速、自信，而且几乎不会出错。例如，I太太在数3个物品时错误率仅为8%，但是在数4个物品时错误率高达75%。我们经常观察到这种分离：即使脑损伤使患者完全无法逐次按顺序把注意力集中于每一个物品，他们对小数字的知觉仍然完好无损。这就强有力地证明了，在感数过程中并没有顺序计数的行为参与，它仅仅是一种对场景中的物品进行预先注意和并行提取的过程。

估计大数字

达斯汀·霍夫曼（Dustin Hoffman）在影片《雨人》（ Rain Man）中扮演的雷蒙（Raymond），是一位具有惊人能力的孤独症患者，影片中发生了一起特殊事件。一位服务员掉了一盒牙签在地上，雷蒙马上咕哝道：“82……82……82……有246根！”仿佛他以82为单位来数牙签，比我们说“二二得四”还要快。在第6章，我们将会仔细分析哪些技艺造就了诸如雷蒙这样的计算奇才。然而，在这里，我并不认为达斯汀·霍夫曼的表演应该被当真。有些轶事报道了一些能够快速感数的孤独症患者，但是并没有给出他们的反应时。据我所知，反应时能够用于判断这些人是否确实在数数。我自己的经验是，要模拟《雨人》的场景很容易：提前开始数数，把各组点数在心里相加，然后以一种虚张声势的方式说出来。以这样的方式，猜准一次屋内的确切人数就足以使你成为传奇！更有可能的其实是，3个或者4个项目作为感数极限对于每个人来说都是一样的。

但是，这一极限的实质究竟是什么？当一个集合内元素多于3个时，我们的并行计数能力真的会瘫痪吗？达到这个临界值时，我们就必须去数吗？事实上，任何成人都可以在一个合理的不确定范围内估计超过3或4的数值。因此，这个感知极限并不是一道不可逾越的障碍，而仅仅是个边界，超过它就进入了近似估计的世界。面对一群人时，我们可能不知道确切的人数是81个、82个还是83个，但是我们可以不通过数数而估计有80到100个人。

这样的估计通常是有效的。心理学家明确知道，在一些情况下，人类的估计值会稳定地偏离真实值（见图3-3）。例如，当物品规则地布满一张纸的时候，我们会倾向于高估其数量；相反，当物品不规则分布的时候，我们会低估其数量，这也许是因为我们的视觉系统把它们分解成了数个小集合。我们的估计对环境影响也很敏感：同样是30个点，我们会因为其周围分布着10个点而低估其数量，也会因为其周围分布着100个点而高估其数量。但是一般来说，我们的估计其实非常准确，尤其是考虑到，在日常生活中我们很少有机会能够验证其正确性。确实，有关一群人是由100人、200人还是500人组成的，我们有多少机会能得到精确反馈呢？然而，在一个实验室条件下所做的实验中发现：只要向我们提供一次数量信息确定的材料，比如明确标记为200个点的集合，就足以提高我们对于点数在10到400个之间的集合的数量估计的准确性。想要校准我们的数字估算系统，只需要少数几次精确的测量。

我们能够立即察觉到2个和3个（左上）之间的区别，但是如果不数数，我们较难区分5个和6个（右上）。我们对大数字的知觉依赖于物品的密度、占据的面积和空间分布的规则程度。尤塔·弗里思（Uta Frith）和克里斯托弗·弗里思（Christopher Frith）于1972年首次描述了中图所呈现的“宝石错觉”：我们的感知系统使我们错误地相信，中间的图中白点比黑点多，大概是因为白点被更紧密地组织在一起。下方的两张图中，随机分布的点看起来要比间隔规则的点少一些，而实际上这两幅图中都有37个点。

图3-3　人类的估计值会稳定地偏离真实值

人类知觉大数字的规律并不特殊，而是与动物数字行为所遵循的规律完全相同。我们受制于距离效应：相比于差距较小的数值，如81与82，我们更容易区分差距较大的数值，如80与100。我们的数量知觉也表现出大小效应：对于相同差距的两个数值，相比于数值较小的情况，如10与20，我们更难区别数值较大的两个数，如90与100。

这些规律是心理学不同寻常的一项发现，其揭示的数学规律性因屡试不爽而令人印象深刻。假定一个人能够区分13个点的集合和另一个10个点的参考集合（数字间距为3），准确率达到90%。现在让我们将参考集合的点数加倍，变成20个点，我们要选择距离这个数值多远的一个数字，才能使分辨的准确率仍能达到90%呢？答案非常简单，你只需要将数字间距也加倍，让两个集合的点数相差6。因此该集合应该有26个点。当参考数字加倍，人们能够以同样的水准实现辨别的数字间距也同样加倍。这一加倍法则也被称为“梯度定律”（scalar law），或者“韦伯定律”（Weber’s law），以发现这一规律的德国心理学家命名。这一定律与动物行为规律的显著相似性表明，就数量的近似知觉这一点而言，人类与老鼠或鸽子没有任何不同。我们所有的数学天赋在感知和估计大数字时都毫无用处。

符号所代表的数量

我们对数量的理解与其他动物没有差别，这一点听起来似乎不足为奇，毕竟哺乳动物都拥有基本相似的视觉和听觉系统。甚至在某些领域，如嗅觉方面，人类的感知能力远不如其他物种。有人可能会认为，涉及人类语言时，情况应该完全不同。很明显，我们与其他动物的区别在于，我们有能力运用任意符号来代表数字，比如单词或者阿拉伯数字。这些符号由离散的元素组成，人们可以以一种纯粹形式化的方式对其进行操纵，并且不存在任何模糊性。内省研究表明，我们的大脑能够以同样的敏锐度（acuity）表征1到9的含义。实际上，这些符号在我们看来没什么区别。我们对这些符号的使用得心应手，甚至可以在短暂的固定时间内对任何两个数字进行加法运算或者比较，就像电脑一样。总体来讲，数字符号的发明让我们摆脱了对数字的数量表征模糊不清的情况。

直觉误导人！尽管数字符号为我们开启了一扇通向原本无法触及的严格算术领域的大门，但是它们并没有将我们的根基与动物对数量的粗略表征分离开来。恰恰相反，每次面对阿拉伯数字，我们的脑都不得不把它看作一个表征精度随数量增加而降低的模拟量，这基本就是老鼠或是黑猩猩的做法。将符号翻译成数量，是以增加可以测量的心理运作速度为重要代价的。

对这一现象的首次报道要追溯到1967年。这一现象在当时具有革命性的意义，因此发表在《自然》杂志上绝对名副其实。罗伯特·莫耶（Robert Moyer）与托马斯·朗多埃（Thomas Landauer）测量了成人判断两个阿拉伯数字哪个更大时所需要的精确时间。他们的实验过程是：快速闪现一对数字，如9和7，然后要求被试通过按下两个反应键中的一个来报告较大数字的位置。

这个简单的比较任务并不像看起来那么轻松，成人通常要用大于0.5秒的时间才能完成，而且结果并非全无差错。更令人吃惊的是，成人的表现会随所挑选的数字呈现系统性变化。若两个数字代表的数值差别很大，如2与9，被试的反应迅速而准确。然而，若两个数字的数值比较接近，如5与6，他们的反应会慢100毫秒以上，并且平均每10个实验轮次就会出错一次。此外，数值间距相同时，随着数值逐渐增大，被试反应会变慢。从1与2中挑选较大的数字很容易，但是比较2与3哪个更大，就会有点困难，比较8与9则会很困难。

我们需要声明的是，参与莫耶与朗多埃测试的人并没有异常，而是和你我一样的普通人。在数字比较实验进行了十多年后，我仍然没有找到任何一个不受数字距离影响且比较5和6与比较2和9一样快的人。我曾经对一群年轻有为的科学家进行过测试，其中包括法国最好的两所数学学院——巴黎高等师范学校和巴黎综合理工学院的学生。让所有人觉得神奇的是，他们在试图判断8与9哪个更大时居然会慢下来，甚至还可能出错。

系统的训练也不能改变这种情况。在一项实验中，我试图训练一群美国俄勒冈大学的学生，使他们免受距离效应的制约。我尽可能地简化任务，在电脑屏幕上只呈现数字1、4、6和9。如果看到的数字大于5，学生们必须按右手边的键，小于5则按左手边的键。很难想象还会有更简单的任务：看到1或4就按左键，看到6或9就按右键。然而经过几天共1 600个轮次的训练后，与离5较远的数字1和9相比，被试在看到离5较近的数字4和6时，反应仍然较慢，准确率仍然较低。事实上，在训练过程中，尽管反应时整体上是变短了，但是，被试在看到离5较近的数字与离5较远的数字时，反应时仍有差别，距离效应本身并没有受到训练的任何影响。

我们该如何理解这些数字比较的结果？显然，我们的大脑不会保留一份关于所有可能的数字比较的清单。如果我们靠死记硬背掌握所有的可能性，如1小于2、7大于5等，那么比较时间就不会随数字距离的改变而发生变化。这种距离效应究竟源自哪里？就外形而言，数字4和5的区别跟数字1和5的区别没什么不同。因此，判断数字4是小于还是大于5的困难，与分辨数字外形的难度毫无关系。显而易见，人脑并未在识别出数字的外形后就停止工作。它迅速在数量含义的层面上识别数字，数字4确实比1更靠近5。我们大脑的沟回之中隐藏着一种包含阿拉伯数字之间近似关系的数量信息模拟表征。我们一看到数字，就可以提取它的数量表征，但是这种表征较容易将相邻的数字混淆。

当我们比较两位数时，会出现另一种更为惊人的现象。假设你要比较71和65的大小，一个合理的方法是，先检查它们最左边的数字，当你发现7大于6时，根本无须考虑最右边的数字是什么，就可以得出71大于65的结论。这一算法被应用于计算机的数字比较中。但是人脑并不是这样运行的。将65与其他两位数进行比较，并测量所需的时间，你会得到一条光滑的曲线（见图3-4）。随着数字逐渐靠近65，比较时间会持续上升。个位和十位数同时对这一趋势产生影响。因此，判断71大于65所用的时间要比判断79大于65所用的时间更长，尽管两种情况下左边的数字都是7。与此同时，当十位数不同时，反应时也不会不成比例地突然变化——比较71和65只比比较69和65快了一点，如果我们选择性地先注意左边的数字，比较69和65应该更加困难。

实验中35名成年志愿者将31和99之间的所有两位数与65进行了大小比较，他们的反应时以毫秒级的精确度被记录下来。每一个黑点代表一个给定数字的平均反应时。数字越接近65，反应越慢，这就是距离效应。

图3-4　比较两个数字需要多久？

资料来源：Dehaene, Dupoux, & Mehler, 1990。

我能想到的唯一解释就是，我们的大脑将两位数字作为整体来加工，并把它转化成一个内部数量或大小。在这一阶段，我们的大脑会忽略与这一数量相对应的精确数值。比较运算仅涉及数量，涉及用于传递数量信息的符号。

对大数字的心理压缩

我们比较两个阿拉伯数字大小的速度不仅与它们的间距有关，同时也与它们的大小有关。判断9大于8比判断2大于1需要更长的时间。在距离相等的情况下，大数字会比小数字更难进行大小比较。这种数字变大引起的反应速度变慢再次让我们联想到婴儿与其他动物的知觉能力，它们同样会受到数字间距和大小的影响。这个惊人的相似性证实：在使用阿拉伯数字之类的符号时，我们的大脑所读取的数量内部表征与其他动物和婴儿的表征非常相似。

事实上，正像其他动物那样，决定人类区分两个数字容易程度的参数并不是两个数之间的绝对距离，而是相对于它们自身大小的距离。从主观上来看，8和9之间的距离与1和2之间的距离并不相同。我们衡量数字的“心理尺”的刻度并不是均匀的，而是倾向于将较大的数字压缩至一个较小的空间。我们的大脑表征数字的方式更像对数尺度：1和2、2和4以及4和8之间是等距的。因此，计算的准确性和速度都不可避免地随数值的增大而下降。

大量实证研究的结果非常集中地支持了大数字在心理上以压缩的形式进行表征的假说。有些实验完全基于内省：主观估计4和6哪个更接近5？尽管问题看起来有些词不达意，但大多数人都认为，在数字间距相同的情况下，大一点的6看起来与5差异更小。其他实验则采用了更微妙、更间接的方法，例如：让我们假设你是个随机数产生器，你必须在1到50之间随机选择数字。当参与这项实验的被试足够多的时候，就能产生一个系统偏差：不同于完全随机，比起大数字来，我们更倾向于经常性地产出小数字，就好像小数字在我们抽取数字的“内部容器”中占更大的比重。这意味着，在没有“客观”的随机性来源（比如骰子或者一个真实的随机数产生器）的情况下，我们无法实现随机选择。

据我推测，这种对小数字的偏向可能对我们利用直觉来完成和解释统计分析有着深远的甚至是毁灭性的影响。思考一下下面这个问题。计算机随机生成两组数字，你的任务是在不进行计算的情况下估计这两组自1到2 000之间的数字的随机性和均匀性：

多数人会觉得序列B中的数字看起来分布更均匀，因而比序列A组的数字“更随机”。在序列A中，大数字似乎出现得太频繁了。然而从数学的角度看来，A组比B组更能代表从1到2 000的数字连续体。序列A中的数字以略大于200为间隔单位规则地分布，而序列B中的数字则呈指数型分布。我们选择序列B的原因在于，它更符合我们对数轴的心理表征，即大数字不如小数字醒目的压缩序列。

我们在选择度量单位时，同样能够表现出这种压缩效应。1795年4月17日，公制开始在巴黎实行。为使其具有普遍性，其单位涵盖了从纳米到千米范围内所有10的幂，甚至每个幂都对应一个专门的名字：毫米、厘米、分米、米等。然而这些单位仍然因为间距太大而不适合日常使用。于是法国的立法者规定“每个十进位单位必须有它的双倍数和半数”。根据这项规定产生了规则序列1、2、5、10、20、50、100……今天的硬币和纸币系统仍在使用这个序列。这一序列符合人类的数感，因为它类似于指数序列，并且由较小的约整数构成。1877年，出于类似的理由，查理·雷纳（Charles Renard）上校实施了一种基于准对数序列（100、125、160、200、250、315、400、500、630、800、1 000）的工业产品（如螺钉直径和轮子尺寸）标准化方法。当一个连续量需要被分割成一些离散的类别时，直觉就会指引我们选择一个与我们的内部数字表征相吻合的压缩序列，它通常是对数的形式。

数字含义的反射性加工

一个阿拉伯数字出现在我们面前时，是一系列分布在我们的视网膜上的光子，这一模式被大脑的视觉区识别为熟悉的数字形状。然而，我们刚刚描述的许多例子表明，大脑可以一鼓作气地完成数字识别。它很快就重建出这一数字所对应的数量的连续性压缩表征。这种向数量的转换是一个无意识、自动化且速度很快的过程。事实上，看见了数字5的形状而不把它立刻转化成数量5几乎是不可能的，即使这种转换在有些情境下毫无用处。因此，对数字的理解是一个反射性的过程。

假设有人将两个数字并排展示给你，要求你尽快说出它们是否相同，你肯定会觉得你的判断只会以数字的视觉外观为基础，即根据它们的形状是否相同做出判断。然而对反应时的测量结果表明，这个假设是错误的。判断8和9不同所需要的时间稳定地长于判断2和9。数字距离再一次操控了我们的反应速度。我们无意识地抵触8与9是不同的数字，因为它们所代表的数量太接近了。

一种类似的“理解性反射”（comprehension reflex）也会影响我们对数字的记忆。记住下面的数字：6、9、7、8。好了吗？现在告诉我，这个序列中有5吗？那么数字1呢？是不是看起来第一个问题要比第二个更难？尽管这两个问题的答案都是“没有”，但正式实验表明，目标数字距序列中的数字越远，所需要的反应时越短。很显然，我们在记忆的时候不仅把这个序列当成一系列任意符号，同样也把它当作一群接近7或者8的数量，这就是为什么我们可以立刻说出1不在这个集合内。

这种理解性反射有可能被抑制吗？为了回答这个问题，实验者让被试置身一种不去识别数字含义反而更利于完成任务的情境。以色列的两位研究者阿维沙伊·海尼克（Avishai Henik）和约瑟夫·策尔戈夫（Joseph Tzelgov）在电脑屏幕上呈现字号不同的一对数字符号，如1和9，然后测量被试判断哪个符号字号更大的反应时。这个任务要求被试把注意力集中在物理尺度上，而尽可能地忽略数字的数量。然而对反应时的分析再次表明，我们对数量的理解是何等的自动化和难以抑制。对被试而言，若视觉刺激的物理维度与数量维度一致（如：“1”“9”），将比不一致时（如：“9”“1”）更容易做出判断。很显然，我们无法忘记符号“1”代表着小于9的数量。

更令人惊讶的是，即使我们没有意识到自己看见了数字，我们的大脑仍能获取数量信息。通过在电脑屏幕上以非常短的时间呈现一个符号，可以使这个符号等同于不可见。有一种被心理学家称为“三明治启动”的技术，即把需要隐藏的单词或者数字夹在前后两个没有意义的字符串中间。比如，我们可以先呈现“#######”，然后是单词“five”（5），接着再呈现“#######”，最后呈现单词“six”（6）。如果前3个视觉刺激每个仅呈现1/20秒，那么夹在中间的启动词“five”就会变得不可见，不仅仅是很难被读出来，而且是从意识流中消失。在正常情况下，甚至实验设计者本人都不能分辨这个隐藏的单词有没有出现！只有最先呈现的字符串“#######”和最后呈现的单词“six”在意识上是可见的。其实，只需要50毫秒，视网膜上就能够形成一个完美的正常视觉刺激“five”。事实上，被试自己也不知道，这个单词在他的大脑中已经产生了一系列的心理表征。这一点可以通过测量命名目标词“six”所用的时间来证明。这一时间随启动词和目标词所代表的数量的距离改变发生稳定的变化。相比于启动词与目标词的距离较大的情况，如启动词是“two”（2），当启动词与目标词的距离较小时，如启动词是“five”，被试对目标词“six”的命名更快。理解性反射在这种情况下也有所体现：尽管无法有意识地看到单词“five”，它却仍然被大脑理解为“一个接近6的量”。

尽管我们并没有意识到在我们的大脑回路中不停进行的自动数值运算，但它们确实以各种方式对我们的日常生活产生了影响。在巴黎的一个较大的火车站中，由于车站被划分成几个区，站台编码的顺序被打乱：站台11紧邻站台12，但站台12与站台13却离得很远。由于数量的连续性在我们的观念中已经根深蒂固，这种设计使得很多旅客陷入混乱。我们直觉地认为，站台13就应该在站台12的旁边。

与此类似，下面这则轶事保证吸引眼球：

来自阿维拉的圣特雷莎（St. Theresa）在1583年10月4日至15日夜间去世。

不，这不是排印错误！巧得很，圣特雷莎去世的夜晚很特殊，恰好是教皇格雷果里十三世废除恺撒颁布的古老的罗马儒略历、启用格雷果里历（沿用至今）的夜晚。这一调整非常必要，因为几个世纪以来，夏至或者冬至等天文事件已经导致日历中的日期逐渐推移，使10月4日后的那天变成了10月15日。这是一个及时的决定，但同时也严重扰乱了我们的数字连续感。

对数字的自动诠释也被运用到了广告界。众多零售商不怕麻烦，为商品标价59美元，而不是60美元，那是因为他们知道，顾客会自动地认为这个价格是“大概50美元”，只有稍加思考，顾客才会意识到真实的价格其实更接近60美元。

最后一个例子，让我说说我自己不得不适应华氏温标的经历。我生长在法国，在那里，我们只使用摄氏温标，水凝固的温度为0，沸腾的温度为100。即使在美国生活了两年，我发现自己仍然很难把32℉想成低温，因为对我来说，32会被自动认为是一个温暖而阳光明媚的天气所具有的正常温度值。反之，我猜想，在欧洲旅行的大部分美国人都会惊讶，37这样低的温度值居然代表人的体温。这种把意义自动赋予数量的习惯深深根植于我们的大脑中，成年人需要克服很多困难才能校正它。

空间感

数字不仅会激发数量感，它们还会诱发一种不可抑制的空间上的延伸感。数字与空间之间的这种紧密联系，在我的数字比较实验中明显可见。你可能会记得，在该实验中，被试需要判断数字是大于还是小于65。因此会有两个反应键，一个在左手边，一个在右手边。作为一个执着的实验者，我系统地改变了反应侧：一半的被试右手边的按键代表“大于”，左手边的按键代表“小于”；而另一半的被试遵循相反的指示。令人吃惊的是，这一看似无关痛痒的变化让我关注到一个重要的现象：“右大”组中被试的反应要快于“左大”组，而且错误更少。当目标数字比65大时，被试按右键比按左键要快，数字小于65时则正相反。似乎在被试的头脑中，大数自发地与右手边的空间联系在一起，而小数与左手边的空间联系在一起。

这种联系的自动化程度还有待观察。为了弄明白这一点，我设计了一项跟空间和数量都没有关系的任务。被试现在要判断的是数字的奇偶性。随后其他研究者采用了更加随意的任务，例如，判断数字名是以辅音开头还是以元音开头，或者判断数字是否具有对称的视觉外观。不管指导语是什么，所有实验都出现了同一种效应：数字越大，右手反应越快；数字越小，左手反应更快的偏向性就更明显。为纪念刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll），我把这项发现命名为“SNARC效应”，即“反应编码的空间-数字联合”（Spatial-Numerical Association of Response Codes）。在卡罗尔的著名荒诞诗《蛇鲨之猎》（ The Hunting of the Snark）中，主人公不屈不挠地寻找一种神秘生物“蛇鲨”，虽然从来没人真正见过它，但是人们却清楚地知晓它的行为细节，包括它喜欢睡懒觉，以及它对游泳更衣车的钟爱。这是对科学家执着追求更加精确地描述自然的贴切比喻，比如夸克、黑洞和普遍语法。遗憾的是，我没能想出一个正好能与snark相对应的有意义的首字母组合词！事实上，只要数字可见，即使任务本身与数量无关，“SNARC效应”都会出现，这证实了被试的大脑对数量信息是自动加工的。

在寻找“SNARC”的许多实验中，我和同事们有很多有趣的发现。首先，数字的绝对大小无关紧要，真正要紧的是实验中所使用的数字之间间隔的大小。例如，如果实验只涉及0到5之间的数字，那么数字4与5就会优先与右侧空间联系在一起，而如果只涉及4到9之间的数字，这两个数字就会优先与左侧空间联系在一起。其次，负责反应的手也是无关变量。若被试在做出反应时两臂交叉，仍然是右侧的空间与大数关联在一起，即使右侧空间的反应是由左手做出的。被试自己当然也完全没有意识到某一侧的反应要快于另一侧。

数字与空间的自动关联这一发现，引出了一个对于数量心理表征的简单却引人注目的隐喻——数轴（number line），即各个数字在心理上被排在一条线段上，每个位置都对应一个确定的数量，相邻的数字在线段上的对应位置也毗邻。这也难怪我们会如距离效应所反映的那样容易将它们混淆。而且，我们可以想象这条数轴在空间中具有方向性：0在最左边，越大的数字越靠右。这就是为什么阿拉伯数字所对应数量的反射性编码会与数字在空间上的自动定位相一致：小数在左边，大数在右边。

这条从左向右排列的特别数轴的起源是什么呢？它与生物学上的参数有关，如利手或者大脑半球特异化，还是仅仅依赖文化因素？为探索第一种假设，我对一组左利手被试进行了研究，但是结果与此前针对右利手被试所做的实验结果没有不同，大数同样与右侧空间相联系。接下来转向第二种假设。我和同事们招募了20名伊朗学生，他们最初学习阅读时是从右向左读的，这与我们的阅读方向相反。这次的结果是决定性的。从整个组的情况来看，伊朗人没有显示出任何数字和空间的选择性关联。然而就个体而言，这一关联的方向变化受被试接触西方文化时间长短的影响。长期居住在法国的伊朗学生表现出了与法国本土学生一样的“SNARC效应”，而那些近几年才移民到法国的伊朗学生，则倾向于将大数与左侧而不是右侧的空间联系在一起。由此看来，文化浸染是一个主要因素。数字与空间联结的方向似乎与书写的方向有关系。

我们稍稍思索一下就可以发现，书写体系确实普遍地影响了我们在生活中使用数字的习惯。每当我们写下一串数字时，小数总是先出现而位于左侧。同样地，直尺、日历、数学图表、图书馆的书架、电梯门上方的楼层标记以及计算机键盘等，也都同样采用从左到右的数字排列方式。对这种惯例的内化开始于孩提时代：美国儿童从小就开始从左往右探索物品，而以色列儿童的探索方向则与此相反。数数时，欧美国家的儿童几乎总是从左开始。数数时起始点和终止点与不同空间方向的规律性关联被逐渐内化，成为我们对数字进行心理表征的一种主要特征。

只有当这条内隐的惯例被违背时，我们才会突然痛苦地意识到它的重要性。旅客在进入巴黎戴高乐机场2号航站楼时会经历这样一种让人困惑的情形：标号为小数的登机口向右侧延伸，而标号为大数的登机口向左侧延伸。我发现很多旅客，包括我自己，在走向登机口时总会搞错方向，即使来过这里很多次，我也没有办法完全摆脱这种空间错乱感。

数字与垂直轴可能也有关联，尽管还没有这方面的实证研究。我曾经跟同事住过一家酒店，它位于意大利的里雅斯特附近亚得里亚海边的峭壁上。入口在顶层，也许就是因为这点，楼层号码是从上往下排的。我们坐电梯的时候，经常会感到非常困惑。向上走时，我们会下意识地希望亮起的楼层号码逐渐变大，但是情况却相反，这总会使我们困惑几秒。甚至在决定去楼上那层要按哪个键时我们都会遇到麻烦！我希望，读到这本书的建筑家和生物工程学家，在将来排列数字时能采用从左到右、从下到上的顺序，因为这确实是我们大脑所期待的惯例。

数字有颜色吗

大部分人头脑中都有一条从左向右延伸的无意识数轴，不过有些人对数字有更加生动的形象知觉。5%～10%的人确信数字有颜色，而且具有非常精确的空间位置。早在19世纪80年代，约翰·高尔顿（John Galton）爵士就观察到他的一些熟人，其中大多是女士，能够赋予数字极其精确和丰富生动的特质，这对别人来说是无法理解的。他们中有一位将数字比作一条向右延伸的丝带，由蓝色、黄色和红色等丰富的色彩渐变而成（见图3-5）。

这些图所描述的是高尔顿的两个被试所体验到的“数形”（number forms）。其中一个被试看到的是一条向右延伸的彩带。另一个被试把数字排列在一条扭曲的曲线上，其初始部分类似于一个时钟的钟面。

图3-5　大脑中的“数形”

另一位声称从1到12的数字盘绕成一个圆形的曲线，在10到11之间有一个轻微的断点。过了12曲线开始向左延伸，在每个整十数处就有一段弯曲。还有人认为在他心里数字1到30呈垂直柱状排列，接下来以整十数为单位逐渐向右偏移。在他看来，这些数字“大概1.27厘米长，暗棕灰色带着一点亮灰色”。

不管听起来多古怪，这样的“数形”都不是这些想象力丰富的维多利亚时代的人为了满足高尔顿对数字的热情而杜撰的。在距高尔顿的时代1个世纪的现代，一项研究发现，大学生也能够感知到类似的数字图像。有人看到同样的曲线，有人看到同样的直线，也有人说整十数时就会出现外形的突然变化，等等。此外，数字和颜色之间的关联是系统的：大多数人会把黑色和白色与0和1或者8和9相关联；把黄色、红色和蓝色与2、3和4等小数相关联；将棕色、紫色和灰色与6、7和8等大数相关联。

这些统计出来的规律表明，大多数声称体验到数形的人是真实可信的。他们似乎忠实地描述了一种极其精确的真实知觉。有个被试被要求用50支彩色铅笔在纸上画出她知觉到的数字形象。在间隔一个星期的两次测试中，她选择了几乎完全一样的颜色。对于一些数字，她甚至觉得自己需要混合几种铅笔的色调，才能更准确地刻画她头脑中的图像。

尽管数形很少见而且显得很奇怪，它却与“正常”的数量表征之间有许多共同的特性。整数序列几乎总是一条连续的曲线，1在2的旁边，2在3的旁边，依此类推。只有在极少数的情况下，在整十数的边界处，如在29和30之间，会出现方向上的突然变化或小小的不连续性。至今还没有一个人声称他看到的是一个混乱的数字图像，比如质数或平方数被组织在同一曲线上。数量的连续性是数形的组织所遵守的主要参数。

数字和空间之间的关系也有所体现。在大多数的数形中，越来越大的数字会向右上方延伸。最终，大多数人声称他们的数形在表征大数字时变得越来越模糊。这正是大小效应或压缩效应的体现，是动物和人类表征数字的特点，它限制了我们对大数进行心理表征的精确度。

数形在本质上可以被当作大家所共有的心理数轴的另一个版本，该版本中的心理数轴可以被意识到，并且更加丰富。大多数人的心理数轴只能通过精细的反应时实验反映出来，但是数形能够被有意识地知觉，而且具有丰富的视觉细节，如颜色，或是空间上的精确定位。这些修饰从何而来？被问及此，拥有数形的人说它们在自己8岁之前就自然地出现了，或者是从记事起就一直存在。有时候，一个家庭的几名成员具有相同的数形。然而，这并不意味着它一定有遗传因素，因为家庭环境也可能是一个决定性因素。

我个人的猜测是，数形的形成，可能跟空间和数字的脑皮层发育有关系。正如第2章所提到的，婴儿可能已经有了数量的“心理表征”。在3到8岁之间，伴随着学校教育，为了适应儿童日益增长的大数知识以及以十进制为基础的记数方式，初始的数轴一定被大大丰富了。我们可以推测，算术的习得过程伴随着负责“数字地图”的脑皮层的逐渐扩张，这种扩张在动物学习精细手工任务时也被观察到了，它发生在大脑感觉运动区域。正如我们将在第7章和第8章中看到的，在邻近顶枕颞叶的联合处，有一块更靠后更靠两侧的大脑区域，称为下顶叶皮层，算术知识的神经网络的扩张很可能发生在这一区域。由于神经元的总数是恒定的，数字神经网络的扩张必然会牺牲周围的脑皮层，诸如编码颜色、形状和位置的区域。而对有些儿童来说，非数字区域的缩小可能并没有达到最大限度。在这种情况下，编码数字、空间和色彩的脑皮层之间就会存在部分重叠，并在主观上转化成一种无法抑制的“看到”数字的颜色和位置的感觉。类似的原因也许能够解释联觉这一相关现象，例如诗人和音乐家所熟知的感受：声音具有形状，味道唤起色彩。

尽管这种解释有些推测的成分，但是这个关于脑皮层如何被越来越精细化的数字表征侵占的理论是有证据的。神经心理学家斯波尔丁（Spalding）和奥利弗·赞格威尔（Oliver Zangwill）描述了一个24岁的患者，在左侧顶枕区受到损伤之后，他感知数字视觉图像的能力突然消失了。这一区域一直以来都被认为在心算方面发挥着核心作用。事实上，这位患者在计算和空间定位上也都出现了严重障碍，我们会在第7章更详细地讨论这种神经系统综合征。这一病例证实：“看到数字”的主观感觉依赖于数字和空间信息在大脑皮层的同一区域同时编码。

此外，皮层表征可能会重叠，进而导致奇怪的主观感觉这一假设在对截肢患者的研究中也得到了验证。截掉一只胳膊后，这只胳膊对应的感觉皮层区域会空置，之后会被周围的感觉区域侵占，例如感觉头的区域。极少数情况下，刺激患者面部的某些点位，会使患者感觉到刺激好像是来自失去的胳膊，从而产生一种无法克制的拥有“幻肢”的感受。例如，一滴水落在脸上，给人的感觉就像已经不存在的手臂浸没在一个水桶中！我相信，数字引起不存在的颜色和形状知觉的数形现象，也同样起源于大脑皮层表征的重叠。

数字直觉

现在来概括一下本章的基本内容。本章集合了对罗马数字的观察、对阿拉伯数字比较反应时的观察，以及对一些人奇怪的数字幻觉的观察，揭示出我们的数字心理表征的迷人特殊性。一个专门负责感知和表征数量信息的器官深深地扎根于我们的大脑中。它与动物和婴儿表现出来的原始的数字能力密切相关。它可以精确表征不超过3的数量；数字变大或相互临近时，则容易被混淆。它还倾向于把数量范围跟空间地图关联起来，从而使空间上延伸的心理数轴的隐喻更加合理化。

显然，与婴儿和动物相比，成年人具有使用文字和数字表达数量的优势。在下一章我们将看到，语言如何简化精确数量的计算和沟通过程。然而，精确的记数法的使用，并不会消除我们生来具有的对数量的连续近似表征。恰恰相反，实验表明，一旦有数字呈现，成人的大脑就会迅速地把它转换成最接近的内部近似量。这种转换是自动的、无意识的。它让我们能够迅速获取一个符号的含义，例如，符号8是7和9之间的一个数量，离10更近，离2更远，等等。

这种数量表征，是我们在进化过程中继承的一种能力，它是我们凭直觉理解数字的基础。如果不是我们已经对数量8有了一种既定的非语言的内部表征，我们可能根本不会赋予数字8一个含义。我们将被限制于纯粹形式化的数字操作，和一台遵循算法而并不理解其意义的计算机没有两样。

我们用来代表数量的数轴显然只支持一种非常有限的数字直觉形式，它只对正整数和它们之间的距离关系进行编码。这或许解释了我们能直觉地掌握整数含义的原因，同时也解释了为什么我们缺乏掌握其他类型数字的直觉。现代数学家认为的“数字”包括零、负整数、分数、像π这样的无理数，以及像

这样的复数。然而，除了最简单的分数，如1/2或1/4，所有这些实数，在过去几个世纪中给数学家们带来了许多概念上的困扰，而且仍然给今天的学生造成很大的困扰。

在公元前5世纪之前，对于毕达哥拉斯和其追随者来说，数字仅限于正整数，不含

分数或负数。这样的无理数被认为是违背直觉的。传说希帕索斯（Hippasus）因为证明了无理数的存在，粉碎了毕达哥拉斯整数统治宇宙的观点，因此被抛入大海。尽管丢番图（Diophantes）以及后来的印度数学家都是计算算法的大师，然而他们都不接受负数作为方程的解。在帕斯卡（Pascal）看来，结果是负数的减法“0-4”纯粹是无稽之谈。1545年，意大利数学家卡丹（Cardan）首次将负数的平方根写进了数学公式，这激起了持续一个多世纪暴风雨般的抗议。“虚数”（imaginary numbers）这种叫法正是来自抵制它的笛卡尔，而德·摩根（De Morgan）也认为虚数是“没有意义的，甚至是自相矛盾和荒谬的”。只有在扎实的数学基础建立起来后，这类数字在数学界才获得了认可。

我想说明的是，这些数学实体之所以很难被接受，并且如此违背直觉，都是因为它们不属于任何预先存在于我们大脑中的范畴。正整数自发地呈现在我们天生的数量表征中，因此一个4岁的儿童就能够理解正整数。然而，大脑中并不存在对其他各种数字的直接模拟。要真正了解它们，我们必须整合出一个新的心理模型以提供直观的理解。这正是教师所做的事，他们会通过打比方来介绍负数，如温度低于零摄氏度，从银行借来的钱，或者一条向左延伸的线。英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）在1685年引入的复数的具体表征，可以称得上是他送给数学界的一份独特的礼物。他最先认识到，数字可以被设想为一个平面，而“实”数沿水平轴存在。我们的大脑想要在直观模式下起作用需要图像——而在数字理论方面，进化赋予我们的只有对正整数的直觉图像。

我观察到，当我们提到任意一个大数字，比如1 000，我们对它通常并没有恰当的认识，但是我们有能力凭借我们本身对十进位的足够认识来理解这个数字。

——大卫·休谟（David Hume），《人性论》（A Treatise of Human Nature）

04　数字语言：人类的杰作

设想一下，我们对数字的心理表征仅有一个近似累加器，就像老鼠那样：我们仅对数字1、2和3有很精确的概念，沿着这个点往后，数字线将消失在一片越来越浓的迷雾中；我们总会把9与相邻的8和10混淆；即使我们知道圆周长除以它的直径是一个常数π，我们只会觉得它“大约是3”。这种模糊不清的感觉处处给我们带来迷惑，无论是货币系统、大部分科学知识，还是我们所知的人类社会。

为什么唯独智人能超越近似性？人类独有的设计符号数字系统的能力可能是最关键的因素。一些我们还不甚了解的人脑结构，使得我们能够使用随意的符号，作为我们心理表征的媒介，比如，一个口语单词、一个手势，或纸上的一个图形。语言符号把这个世界解析成离散的类别，因此，它们使我们能够使用精确的数字，并将邻近的数字区分开来。没有符号，我们可能无法区分8和9。而在精密的数字符号的帮助下，我们所表达的观点可以是精确的，例如，“光的速度是每秒299 792 458米”。这种把近似值变成数字的符号表征的转换，正是我打算在本章中描述的。它发生在文化历史中，同时发生在任何一个学习数字语言的儿童的大脑中。

数字简史

当我们的祖先第一次开始讲话时，他可能只能说出数字1、2，或许还有3。单一、双重、三重是知觉上的特性，不用数数，我们的大脑就可以毫不费力地计算出来。因此，给它们命名也许不会比命名其他感官属性更难，如红、大或热。

语言学家詹姆斯·赫福德（James Hurford）收集了相当多的证据，证明了前3个数词的古老及其特殊地位。在需要对语义格和阴阳性进行词形变化的语言中，往往只有前3个数词是可以变形的。例如，在古德语中，“二”可以根据所指对象的语法性别而被变形成“zwei”、“zwo”或“zween”。同样，前3个序词也有特定的形式。例如，在英语中，大部分的序词以“th”结尾，如，“fourth”（第四）、“fifth”（第五）等，但“first”（第一）、“second”（第二）和“third”（第三）却不是。

数字1、2和3，也是仅有的可以由语法变换（grammatical inflections），而不是文字变化来体现含义的数字。在许多语言中，单词不光带有单数或复数的标记。不同的单词结尾也可以用来区分两个东西（dual）和两个以上的东西（plural），一些语言甚至有特殊的变形来表示三个东西（trial）。例如，在古希腊，“o hippos”指的是这匹马，“to hippo”指两匹马，“toi hip-poi”指数目不详的马。但从来没有哪种语言发展出针对大于3的数字的特殊语法变换。

另外，前3个数字的词源也见证了它们的悠久历史。“2”（two）和“第二”（second），往往表达了“另一个”的意思，动词（to second）或形容词（secondary）形式也是如此。印欧语系中“三”的词根表明，它可能曾经是最大的数字，是“很多”和“超过其他所有”的代名词，比如，法语中有“très”（非常），意大利语中有“troppo”（太多），英语中有“through”（彻底），拉丁语中有前缀“trans-”（超过）。因此，也许印欧语系的人们知道的数量仅限于“一个”（1）、“一个和另一个”（2），还有“很多”（3及更多）。

今天，我们很难想象我们的祖先可能被限制于3以内的数字。然而，这并非难以置信。来自澳大利亚的原住民部落瓦尔皮里斯（Warlpiris）直到现在也只定义了数量1、2、一些和很多。在颜色方面，一些非洲语言仅仅区别了黑、白、红。不用说，这些限制纯粹是词汇性的。当瓦尔皮里斯人接触到西方人后，他们很轻松地学会了英语的数字单词。可见，他们对数字进行概念化的能力并不受限于他们语言中的词汇，显然也不受限于他们的基因。虽然这方面的实验非常缺乏，但是看起来他们对3以上的数字也具备量的概念，尽管这些概念是非语言的，或许还是近似的。

人类语言是如何超越3的限制的呢？向更先进的数字系统的转换似乎与通过身体部位进行计数有关。所有儿童都能够自发地发现，他们的手指可以与任意一组东西有一一对应的关系。1个手指代表第一个东西，2个手指就代表有第二个，以此类推。根据这种机制，3个手指的手势就是一个代表数量3的符号。这一机制的优势在于所需的符号总可以“信手拈来”——在这一数字系统中，数字（digits）可以通过字面意思理解为说话者的手指（digits）！

从历史的角度来看，数字和身体部位间的对应关系支持了这种基于身体的数字语言，一些偏远的部落至今仍在使用这种语言。许多原住民群体，其口语中缺少用于描述3以上数字的词汇，他们却有丰富的身体语言来实现同样的目的。例如，居住在托雷斯海峡群岛的当地人，通过按照固定的顺序指向不同的身体部位来表示数字（见图4-1）：右手的小指到拇指（数字1至5），然后沿右臂向上至胸腔，再顺左臂下来（6至12），经过左手的手指（13至17），左脚趾（18至22），左腿和右腿（23至28），最后是右脚趾（29至33）。几十年前，在新几内亚的一所学校，让老师们困惑的是，数学课上，那些原住民学生的身体总是扭来扭去，好像计算会使他们的身体发痒。事实上，正是通过迅速指向自己身体的各个部位，儿童把老师用英语教给他们的数字和运算翻译成与母语对应的肢体语言。

居住在托雷斯海峡的当地人通过指向他们身体的某一个精确部位来标记数字。

图4-1　用身体部位表示数字

资料来源：Ifrah, 1998。

在更先进的数字系统里，“指”这个动作不再必要：身体部分的名称足以唤起相应的数字。因此，在新几内亚的许多部落中，“6”的字面意思是“手腕”，而“9”是“左胸”。同样，在世界各地数不清的语言中，从中非到巴拉圭，“5”的词源都是单词“手”。

我们需要消除这些基于身体的语言与我们无实际意义的现代数字之间的隔阂。通过指向身体来表示数字，存在严重的局限性：我们的手指实际上只是一个相当小的有限集合，即使算上脚趾和身体其他一些显著部位，这一方法也很难表达30以上的数字。而学习每一个数字的随意名称也极其不切实际。解决方案是创建一种语法，通过组合几个较小的数字来表示较大的数字。

数字语法的产生可能是基于对身体计数法的延伸。在巴拉圭原住民部落这样的社会中，数字6并没有被命名为如“手腕”这样的任意名称，而是以“1只手和1个手指”来表示。因为“手”本身代表5，基于该部落所使用的身体语言的逻辑，人们用“5加1”表示6。同样，数字7是“5加2”，以此类推10被简单地表示为“2只手”（2个5）。这个简单例子背后暗含着现代记数法的两个基本组织原则：基数（base number）的选择（这里是数字5）；使用加和与乘积的组合来表示大数。这些原则可以扩展应用到任意大的数字。例如，11可以被表示为“2只手和1个手指”（2个5和1个1），而22则是“4只手和2个手指”（4个5和2个1）。

大多数语言都采用了一个基数，如10或20，它们的名称通常是更小单位的缩写形式。例如，在阿里语言中，意为10的“mboona”由“moro boona”缩写而来，字面意思是“2只手”。一旦固定了这种新的形式，它就可以用于组成更复杂的结构。因此，“21”可以表示为“2个10和1个1”。现代英语中也有些数字是不规则的，如eleven、twelve、thirteen或fifty，我们可以用这种简缩过程来解释。这些数字在变形和简缩前，明显是由“1和10”“2和10”“3和10”“5个10”构成的。

基数20可能反映了一个通过手指和脚趾计数的古老传统。这就解释了为什么在一些玛雅方言中，或在因纽特人的语言中，数字20和“一个人”常用同一个词表示。数字93可以用一个简短的句子表示为“4个人（80），以及第5个人的2只手（10）和3根脚趾（3）”。这种语法确实很绕口，但现代法语“quatre-vingt-treize”（4×20+13）则更甚。正是有了这种方法，人类最终学会了绝对精确地表达任意一个数字。

数字书写系统

除了给数字起个名字，留下可持续的数字记录也很重要。出于经济和科学方面的原因，人类迅速发展了书写系统，它能够永久性地记下重要的事件、日期、数量或交易，简言之，任何事物都可以用数字表示。因此，书面数字符号的发明，可能与口头数字系统的发展齐头并进。

要了解数字书写系统的起源，我们必须追溯一段漫长的历史。通过奥瑞纳时期（Aurignacian Period，公元前35000年至公元前20000年）的几根骨头，我们得以看到最古老的数字书写方法：用数量完全相同的刻痕来表示一组客体。这些骨头上有一些平行的刻痕。这可能是早期人类保留狩猎记录的方式，每捕获1只动物，就留下1个刻痕。有研究人员在一块年代略晚些的骨片上发现了具有周期性结构的刻痕，对其进行深入研究后，研究人员认为它可能作为一种阴历用于记录2次满月之间经过多少天（见图4-2）。

这个小骨片在1969年出土于法国南部一个洞穴，其年代可以追溯到旧石器时代晚期（约公元前10000年），上面刻有规则排列的标记。鉴于一些刻痕按照大约29个一组的方式分组，研究人员认为这个骨片可能是用来记录2次满月之间的天数的。

图4-2　刻有数量记号的骨片

这种一一对应的方式作为一种最简单最基本的数字记录原则，在全世界范围内不断改进。苏美尔人在陶器中投入与所数的物品数量相同的弹珠；印加人通过在绳子上打结的方式记录数字，作为档案来保存；罗马人把前3个数字用竖线来表示。现在，仍有一些面包师使用带有刻痕的棍子来记录他们客户的欠款情况。“calculation”（计算）这个词本身源自拉丁语calculus，意为“卵石”，它将我们带回到那个通过移动算盘上的卵石来计算数字的年代。

尽管看似简单，一一对应原则仍是一项了不起的发明。它提供了持久、精确、抽象的数字表征。一串刻痕可以作为一个抽象的数字符号代表任意事物的集合，可以是牲畜、人、债务或满月周期。它还帮人类克服了感官的限制。像鸽子一样，人类不能区分49个物品和50个物品。然而，一根刻有49个刻痕的棍子可以记录下这个确切数字并将它永久保留下来。要验证计数是否正确，人们只要逐个清点物品，每清点一个就向前移动一个刻痕。这样，人类心理数轴上不能准确记忆的大数字，就可以通过一一对应的方式进行精确表达。

显而易见，一一对应也存在局限性。众所周知，一列列刻痕读写很不方便。正如我们在前面看到的，对一组3个以上的物品，人类的视觉系统无法在一瞥之下捕捉其数量。因此，37个无差别的刻痕与它们所代表的37只羊同样难以感知！人类很快学会了给刻痕分组，以及引进新的符号，从而打破了以单调的数字序列计数的模式，实际上是把大的数字分解，使其简单易读。正如我们用斜线把每5个划分成一组，把它们变成视觉上一目了然的分组。使用这种技术，数字21看起来就是

，毫无疑问，这个符号比

更具可读性。

然而，这种系统只是在纸上书写时方便。若使用一根棍子进行记录，要雕刻出平行的线条是非常费劲儿的。而以一定角度在木头上留下刻痕则更容易，这正是几千年前牧羊人采用的方法。他们用Ⅴ或Ⅹ这样斜划的符号来表示数字5和10。可能你已经猜到了，这正是罗马数字的由来。它们的几何形状取决于被刻在一根木棒上的容易程度。使用其他书写媒介的人则采用了不同的形状。例如，在软黏土片上书写的苏美尔人，采用能用笔写出的最简单的形状来表示数字，即圆形或圆柱形刻痕，以及著名的钉子状或“楔形”的文字。

把几个这样的符号组合在一起就可以表示更多的数字。在罗马数字中，7写作“Ⅶ（5+1+1）”。一个数的值等于其组成部分所代表的数字的总和，这种加法原则存在于许多记数法中，包括埃及人、苏美尔人和阿兹特克人的记数法在内。加法记数法既省时间也省空间，比如38这个数字，任何具体的基于一一对应的标记过程都会需要38个相同的符号，而现在只需调用7个罗马数字（38=10+10+10+5+1+1+1或ⅩⅩⅩⅧ）。不过，对于阅读和书写而言，这些数字仍然是冗长而乏味的。通过引入特殊符号，比如L（50）和D（500），可以使数字标记略简洁。如果你愿意用不同的符号表示1至9、10至90、100至900间的27个数字，则完全可以避免重复。希腊人和犹太人就采用了这样的解决方案，他们使用字母表示数字。使用这个技巧，表示345这样的复杂数字只需要3个字母（希腊文为TME，或300+40+5）。然而这种方案的使用者需要付出相当大的代价：为表示1到999的所有数字首先要记住27个符号，而记忆这些符号并不轻松。

回顾前面的内容，我们会发现，仅靠加法显然不足以表示很大的数字。乘法变得不可或缺。加法和乘法混合的符号表达起源于4 000多年以前的美索不达米亚。对于300这样的数字，马里城的居民只需简单地写下符号“3”，再在其后写下符号“百”，而不是重复3次代表100的符号，譬如罗马数字中的CCC。但是，他们仍旧在加法原则下使用个位数和十位数，因而他们的符号还不够简洁。例如，数字2 342，实际上是写作“1+1千，1+1+1百，10+10+10+10，1+1”。

后来的数字符号进一步改善了乘法原则的优势。尤其是5个世纪之前，中国人发明的一种一直沿用至今的非常规则的记数法。它只有13个任意的符号，分别代表数字1到9，数字10、100、1 000和10 000。数字2 342可以简单地根据口头表达“两千三百四十二”逐字地写成“2 1000 3 100 4 10 2”（汉语中40是“4个10”）。因此，在这个阶段，书写系统直接反映了口头记数系统。

位值原则

最后一项发明大大提高了数字符号的功效，这就是位值原则（placevalue principle）。当一个数所代表的数量取决于它在整个数字中所处的位置时，我们就说这个数字符号服从位值原则。因此，虽然组成222的3个数字完全相同，它们却代表不同的数量级：2个百，2个十，2个单位一。在位值记数法中，有一个特权数字被称为基（base）。我们现在使用的是基数10，但这不是唯一的基数。数字中连续的位置代表连续的基数数量级，从个位数（10 0=1）到十位数（101=10）、百位数（102=100），等等。通过把每个数字乘以相应数量级的基数，然后将所有的结果相加，可以得出一个数字所表示的数量。因此，数字328代表的数量为“3×100+2×10+8×1”。

如果想让计算变得简单，位值编码是必需的。试试用罗马数字计算ⅩⅣ×Ⅶ！希腊语的字母记数法在计算时也不方便，因为你完全无法看出N（50）是E（5）的10倍。这就是希腊人和罗马人从不在没有算盘时进行计算的主要原因。相比之下，基于位值原则的阿拉伯数字使5、50、500和5 000的大小关系清清楚楚。位值记数法是唯一一种能把复杂的乘法计算简化到仅需记忆2×2到9×9的乘法口诀的记数法。它们的发明革命性地改变了数学计算的艺术。

尽管四大文明古国都发明了位值符号，然而其中三个却从未达到像现代阿拉伯数字这样简单的程度。因为，记数法要实现高效，必须结合其他3项发明：一个表示“零”的符号、唯一的基数，以及对数字1到9的加法原则的舍弃。例如，目前已知最古老的位值体系，是公元前18世纪由巴比伦的天文学家发明的，其基数为60。因此，数字43 345就等于“12×60 2+2×60+25”，是将12、2和25几个符号连接起来进行表达。

原则上，0～59之间的60个数字，每个都需要一个不同的符号来表示。然而，学习60个随意符号显然是不切实际的。于是，巴比伦人又增加了基数10来表示这些数字。例如，数字25被表示为“10+10+1+1+1+1+1”。最终，数字43 345被表示成一个模糊的楔形文字序列，其字面意思是“（10+1+1）×60 2，（1+1）×60，10+10+1+1+1+1+1”。这种加法和位值编码混合的表示方法，以及10和60两种基数的使用，使得巴比伦符号变成一个只有受过教育的精英才能理解的棘手的系统。不过在当时，这仍然称得上是一项了不起的先进的记数法。巴比伦天文学家非常娴熟地用它进行天体计算，其精度在1 000多年间一直保持领先。它的成功某种程度上归功于其分数表示的简单化：2、3、4、5和6是基数60的约数，因而分数1/2、1/3、1/4、1/5和1/6都有一个简单的六十进位的表达。

以今天的标准看，巴比伦系统还有一个缺陷：公元前18世纪之后的15个世纪里，它始终缺少一个零。零有什么好？作为一个占位符，它可以表示多位数字中某个单位没有数字的情况。比如，阿拉伯数字记数法中的503，指5个百，没有十，3个单位一。由于缺少一个零，巴比伦的科学家们只能在应出现一个数字的地方留下一个空格。这个有意义的空白经常会导致含糊不清。数字“301”（5×60+1）、“18 001”（5×60 2+l）和“1 080 001”（5×603+1）被含糊地表示为相似的字符串：51，5 1（中间有1个空格），和5 1（中间有2个空格）。因此，没有零是许多计算错误产生的原因。更糟糕的是，一个单独的数字有多重意义。如“1”可能意味着数量1，但也可能是“1后面带一个空格”表示“1×60”，或者是“1后面跟着两个空格”表示“1×602=3600”，等等。人们只有根据上下文才可以判断哪种解读是正确的。直到公元前3世纪，巴比伦人才最终引入了一个符号来明确表示没有数的单位。即使是这样，这个符号也只是一个占位符。它从未获得过“空值”或“1之前的一个整数”的含义。

巴比伦天文学家发明的位值符号随着文明的衰落遗失了。后来，其他文明古国发明了类似的系统。公元前2世纪，中国科学家设计了一种没有0的位值编码方法，使用基数5和10。玛雅天文学家在公元500年至公元1000年间使用基数5和20及完全成熟的数字0来进行书写和计算。最后，印度数学家馈赠给人类以10为基数的位值记数法，至今全世界都仍在使用它。

看起来似乎不太公平，最初由印度文明的智者发明的数字，却被称为“阿拉伯数字”。这是因为西方世界第一次发现它，是在伟大的阿拉伯数学家的数学著作中，所以我们的记数法才被冠以“阿拉伯”之名。许多数值计算的现代技术都起源于阿拉伯科学家的工作。“算法”（algorithm）这个词，就是以阿拉伯数学家花剌子米的一项工作来命名的。他最著名的一本书是关于求解线性方程组的论述，书名的阿拉伯文是 Al-jabr w’al muqâbala，直译为《还原与对消的科学》，它的出版创立了一门新的学科——代数（algebra）。通过写作一本书就建立了一门学科，这是极为少见的一个例子。然而，尽管他们具有创造的才能，若是没有印度数字符号的帮助，阿拉伯科学家的这些发明是不可能问世的。

我们尤其应当向印度记数法中的一项独特创新献上敬意。这一创新是其他所有位值体系所没有的，这就是对10个随意的、其形状与它们所代表的数量并无关系的数字字符的选择。乍一看，人们可能会认为，使用随意的形状应该是一个缺点。画一列线条似乎可以更清楚地标记数字，而且更容易学习。这或许也是苏美尔、中国和玛雅科学家暗含的逻辑。然而，在前面的章节中我们已经看到，这是不正确的。人类的大脑数出5个物品所花的时间，比识别一个随意形状，然后把它与一个含义相关联所花的时间要长。我们的知觉器官配置独特，它可以快速提取随意形状的含义，我称其为“理解性反射”，它在印度-阿拉伯的位值记数法中得到了极好利用。这种包含了10个易辨识数字的记数工具，完全契合了人类的视觉和认知系统。

丰富多样的数字语言

如今，几乎所有国家的人们在书写数字时都采用同一惯例，使用基数为10的阿拉伯数字，只是数字的形状略有不同。一些中东国家，如伊朗，采用的是另一套被称为“印度数字”的数字形状，而不是阿拉伯数字。即使是这样，标准的阿拉伯数字仍然越来越被大家所接受。书面记数的进化之所以发生了汇聚，主要是因为位值编码是最好的可用记数法。它有许多值得称道的特点：结构紧凑，所需符号很少，简单易学，读写速度很快，计算方法简单。所有这些都是它被普遍采用的原因。事实上，很难再有什么新的发明可以改进它。

口头记数的进化中并没有出现这样的汇聚。虽然绝大多数人类语言的数字语法都是基于加和与乘积的结合，然而记数系统在细节上的多样性非常显著。首先是基数的多样性。澳大利亚昆士兰地区的一些原住民仍在使用基数2。数字1是“ganar”，2是“burla”，3是“burla-ganar”，4是“burla-burla”。与此相反，在古苏美尔地区，基数10、20和60同时都在使用。因此数字5 566被表示为“sàr（3 600）ges-u-es（60×10×3）ges-min（60×2）nismin（20×2）às（6）”，即“3600+60×10×3+60×2+20×2+6=5566”。基数20曾在阿兹特克、玛雅和盖尔语中被熟练地使用，至今因纽特人和约鲁巴人仍然在使用它。法语中也有其身影，比如80是“quatre-vingt”（4个20），另外在伊丽莎白时代的英语中，人们数数往往以20（score）为单位。

尽管绝大多数语言都使用基数10，但在不同的语言中，数字的语法结构仍然存在差异。简化程度方面应该嘉奖亚洲语言，如中文，其语法完美地反映了十进制的结构。在这些语言中，只有9个数字名：数字一到九（yī、èr、sān、sì、wǔ、liù、qī、bā和jiǔ），在此基础上还需要结合4个乘数十（shí）、百（bǎi）、千（qiān）、万（wàn）。所以，读出一个数字，只需要以10为基数读取各个组成部分。13是“shí sān”（十三），27是“èr shí qī”（二十七），92 547是“jiǔ wàn èr qiān wǔ bǎi sì shí qī”（九万二千五百四十七）。

这种优雅的形式化与英语或法语形成了鲜明的对比，同样是表示数字，英语和法语要用29个词。在英语或法语中，数字11～19，以及整十数20～90是用几十个特殊的词语（eleven，twelve，twenty，thirty，等等）来表示的，其外观无法通过其他数字预测。更不用说法语中一些奇怪的特例，有些词令人难以理解，如“soixante-dix”（60-10，即70）和“quatre-vingt-dix”（4-20-10，即90）。在涉及数字1时，法语中还有令人困惑的省略和组合规则：我们说“vingt-et-un”（20和1），而不是“vingt-un”，而22是“vingt-deux”，而不是“vingt-et-deux”，81则是“quatre-vingt-un”，而不是“quatre-vingt-et-un”。同样，100是“cent”而不是“un cent”。另一个怪异之处是，在日耳曼语系中十位数和个位数之间对调了位置，432变成了“vier hundert zwei und dreißig”（402和30）。

数字语言的多样性在现实中造成了什么影响？是某些数字符号可以更好地适应我们的大脑结构，还是所有语言中的数学符号对大脑来说都是一样的？是否有某些国家得益于他们的记数系统，在数学上一开始就占有优势？这一问题非同小可，因为在当前激烈的国际竞争形势下，计算能力是取得成功的关键因素。作为成年人，我们基本上感受不到我们所使用的记数系统的复杂性。多年的训练使我们已经习惯接受“76”要念成“seventy-six”，而不是“7 10 6”或“60-16”。因此，我们不能客观地比较我们的语言与其他人的语言。只有严格的心理学实验才能测量出各种记数系统的相对功效。出人意料的是，这些实验反复表明英语或法语劣于亚洲地区的语言。

讲英语的代价

大声读出下面这串数字：4、8、5、3、9、7、6。现在，闭上眼睛，花20秒的时间尽量记住这些数字，然后再把它们背出来。如果你的母语是英语，你有50%的概率会失败。如果你是中国人，几乎可以保证成功。事实上，中国人的数字记忆广度可以扩展到9个，而英国人平均只有7个。为什么会有这种差异？大概是因为中文中的数词更短一些。当我们试图记忆一列数字时，我们一般会使用非文字记忆循环将其存储（这就是为什么我们很难记住发音相近的数字，如“five”和“nine”或者“seven”和“eleven”）。这种记忆只能保持大约2秒，我们必须重复这些词以保持记忆。因此，我们的记忆容量取决于在不到2秒的时间内可以重复多少个数词。背得快的人记得更好。

中文的数词简洁明了，大多数可以在不到1/4秒的时间内读出来。例如，4是“sì”（四）、7是“qī”（七）。而对应的英语单词“four”“seven”读起来更耗时，大约需要2/3秒。显然，英国人和中国人之间的记忆差距是由这两种语言的长度不同造成的。在诸如威尔士语、阿拉伯语、汉语、英语和希伯来语这些差异很大的语言中，读出数字所需要的时间，与使用这种语言的人的数字广度之间存在着稳定的相关性。在记忆数字这件事上，最高效率奖应该颁给讲粤语的中国人，粤语的简洁性赋予香港居民有高达10位左右的数字记忆广度。

尽管“神奇的数字7”通常被认为是人类记忆容量的一个固定参数，其实它并不是一个普适常数。它仅仅代表了智人中一个特殊群体的数字广度的标准值，这个群体就是美国大学生，90%以上的心理学研究都是围绕他们展开的！数字广度是一个与文化和训练相关的量，并不能作为衡量记忆大小的一个固定指标。它在不同文化间的差异表明，亚洲的数字符号更紧凑，因而比西方的数字符号更容易记忆。

如果你不会说中文，还有其他办法。几个小窍门可以提升你的数字记忆能力。首先，永远用最短的句子记忆数字。对于一个长数字，如83 412，逐个记忆每个阿拉伯数字往往效果最好，就像背诵电话号码一样。其次，尝试将数字划分成以2个或3个为一组的单元。如果将它们分成4组，每组3个，你的工作记忆容量会上升到约12个数字。美国电话号码采用了这种策略，它由3位数的区号，以及3个一组、2个一组和2个一组的数字组成，如“503 485 98 31”。相比之下，在法国，人们用双位数表示电话号码就不太明智。例如，人们将85 98 31读作“八十五　九十八　三十一”，这可能是我们所能想到的最低效的记忆方法！

最后，请把数字带回熟悉的环境中，寻找递增或递减的数字序列、熟悉的日期、邮政编码或其他任何已知的信息。如果能用熟悉的东西对数字重新编码，你就能很容易地记住它们。在经过心理学家威廉·蔡斯（William Chase）和安德斯·埃里克森（Anders Ericsson）约250小时的指导训练之后，一名美国学生使用这种重新编码法将自己的记忆广度扩展到了80位数字。这名学生是优秀的长跑运动员，拥有一个庞大的有关长跑纪录的心理数据库。他把要记住的80位数字分解成每3个或4个为一组，对应于永久记忆中的一系列长跑纪录进行记忆。

通过这样的指导，在记忆电话号码方面你应该不会有什么困难。但是，除非你是中国人，否则你还是免不了会遇到其他困难。数字名在计数和计算中也发挥了关键作用，这一次表现不佳的仍是数字名太长的语言。比如，计算“134+88”，威尔士小学生比英国小学生平均要多花1.5秒。鉴于年龄和教育程度相当，这种差异完全可以归因于读出题目及结果所耗费的时间不同。威尔士语中的数字名明显长于英语数字名。然而，英语也不是最佳语言。一些实验表明，日本儿童和中国儿童的计算速度远远超过同龄的美国儿童。

当然，在这类研究中，我们很难把语言和其他因素区分开，比如教育因素、在校时间、家长压力等。事实上，大量证据表明，在数学课的组织方面，日本学校在许多方面优于标准的美国学校。然而，我们可以通过研究学前儿童的语言习得过程来排除诸如此类的因素。所有儿童都面临着同样的挑战，即他们需要自己探索母语中的词汇和语法规律。仅仅通过接触“soixante-quinze”或“fünf und sießig”之类的短语，他们如何学会法语或德语的规则呢？一个法国儿童如何才能发现“cent deux”和“deux cent”的含义？即使儿童是天生的语言学家，就像诺姆·乔姆斯基和史蒂芬·平克（Steven Pinker）的假设：大脑装备有一个语言器官，使学习最深奥的语言规则也成为一种本能，对数字组成规则的归纳不可能瞬时完成，而且会因语言的不同表现出差别。

在中国，一旦你学会了1到10的数字，通过一个简单的规则，你就很容易掌握其他数字（11等于十一，12等于十二……20等于二十，21等于二十一，等等）。相反，美国儿童不仅需要死记硬背1到10和11到19的所有数字，以及20到90之间所有的整十数，他们还必须自己去发现数字语法的各种规则，例如，“twenty forty”或“thirty eleven”是数词的无效组合。

凯文·米勒（Kevin Miller）和他的同事们进行过一项引人注目的实验，他们要求经过匹配的美国组和中国组儿童背数。令人吃惊的是，语言差异导致美国儿童比同龄的中国儿童落后长达1年。4岁时，中国儿童平均能数到40。而在同样的年龄，美国儿童只能艰难地数到15。他们需要花1年的时间才能赶上来并数到40或50。美国儿童并不是始终落后于中国儿童，在数到12之前，这两组儿童水平相当。但是，当开始学习“13”和“14”这样的特殊数字时，美国儿童遇到了麻烦，而中国儿童受益于语言可靠的规律性，能够很容易地继续进步（见图4-3）。

凯文·米勒和同事们要求美国和中国的儿童尽可能多地背诵数字。同样年龄的中国儿童比美国儿童背得更多。

图4-3　中美两国儿童数字记忆广度的比较

毫无疑问，米勒的实验表明：记数系统的费解难懂，对语言习得过程产生了重要的负面影响。另一个证据来自对数数错误的分析。大家都听到过美国儿童背诵“twenty-eight，twenty-nine，twenty-ten，twenty-eleven”吧？这当中的语法错误显露出对数字语法规则的错误归纳，而这类错误在亚洲地区的国家中十分罕见。

数字系统的影响一直延续到接下来的学生时代。中文口语中，数字的组织方式与书面阿拉伯数字的结构完全一致。因此，在学习以10为基数的位值符号原则时，中国儿童遇到的困难远小于美国同龄人。在被要求用一些代表单位1的立方块和代表10的条形块组成数字25时，中国儿童轻而易举就选择了2个条形块和5个立方块，这表明他们理解基数10。同样年龄的美国儿童则表现不同，他们中的大多数不能利用条形块所提供的捷径，而是费劲地数出25个立方块。更糟糕的是，如果还有一个代表20的条形块，比起两个代表10的条形块，他们通常会选择前一个。他们似乎仅注意到了“twenty-five”（25）的表面信息，而中国儿童已经掌握了更深层次的以10为基数的结构。基数10是亚洲地区的语言中一个非常明显的概念，却令西方儿童相当头痛。

这些实验结果给出一个强有力的结论：西方的数字系统在许多方面不如亚洲的。前者很难在短期记忆中留存，它们会延长计算用时，并使学习数数和掌握基数10变得更加困难。文化选择早就应该淘汰像法语“quatre-vingt-dix-sept”这样荒谬的结构了。然而，法国的学校和学院所进行的标准化工作为语言的自然进化画上了句号。如果儿童可以投票，他们很可能会支持数字符号的全面改革，支持采用中文的模式。历史上至少有一次成功的语言改革。20世纪初，威尔士人心甘情愿地放弃了他们的旧记数系统，其复杂性超过了当今法语，他们选择了一个类似于中文的简单符号系统。但是，威尔士记数系统的改变又陷入另一个错误：新的威尔士数字单词，尽管其语法规律易于学习，但是记忆起来太长了！

学习标记数量

习得数字的词汇和语法并不代表一切。知道“two hundred and thirty”（230）是一个有效的英语短语而“two thirty and hundred”不是，这并没有什么特别的用处。最重要的是，儿童必须理解这些数字是什么意思。数字系统的力量源于它们可以建立起语言符号和相应数量之间的精确联系。儿童可能会很熟练地背诵到100，然而，除非儿童明白这些数字所代表的数量，否则他们只是鹦鹉学舌。那么，儿童如何学习“/wʌn/”“/sɪks/”或者“/eɪt/”的意义呢？

儿童面临的第一个基本问题是，他们要明白这些词语代表的是数字，而不是颜色、大小、形状或环境的其他维度。试想一下，儿童头一次听到短语“3只绵羊”（the three sheep）和“大绵羊”（the big sheep），并不知道“3”和“大”的意思，此时，他无法判断出“大”是指每只绵羊的身体大小，而“3”是指这组绵羊的数量。

实验表明，到了两岁半，美国儿童已经能够区分数字与其他形容词。实验者将一张有1只红色绵羊的图片和另一张有3只蓝色绵羊的图片呈现给儿童，在被告知“指出红色绵羊”时，儿童很容易就指向第一张图，而被告知“指出3只绵羊”时，儿童就指向第二张。在这个年龄，儿童已经知道“3”是指一些东西的集合而不是指单个东西。在同样的年龄，儿童能够正确排列数字和其他形容词。他们说“3只小绵羊”，而不是“小的3只绵羊”。因此，儿童很早就已经知道数字与其他单词不同，属于一个特殊的类别。

儿童是如何发现这一点的？或许他们是通过摸索所有可能的线索，无论是语法还是语义。仅语法本身也许就能提供宝贵的帮助。假设一个母亲告诉她的孩子：“你看，查理，3只小狗狗（three little doggies）。”婴儿查理就可以推断，“3”是一种特殊的形容词，因为其他的形容词，如“可爱”，总是离不开冠词，如“the nice little doggies”（这些可爱的小狗狗），“3”不需要冠词这一事实可能意味着“3”用于形容整个小狗狗的集合，因此，它可能是一个数词，或是一个像“一些”或“许多”一样的量词。

当然，这样的推理对于理解“3”这个词代表的准确数量帮助并不大。事实上，在整整一年的时间里，儿童只知道“3”是一个数字，而并不知道它的精确数量。在听到“给我3个玩具”时，他们大都只会抓过来一堆玩具，而并不关心确切的数字是多少。如果让他们在2个玩具和3个玩具之间做选择，他们只能做出随机的选择——尽管他们从来没有选择过只有一个东西的卡片。他们知道如何背诵数字，而且觉察到这些数字与数量有关，却不知道它们的确切含义。

为了应对这一阶段的问题，使儿童理解“3”所代表的精确数量，语义线索可能起了关键作用。幸运的话，婴儿查理会看到妈妈提到的3只小狗。他的知觉系统（我们在第2章中讨论过知觉系统的精密性）可能会分析这个场景，并且识别出一些动物的存在，它们很小、吵闹、会动，并且数量大约是3个。当然，我并不是说查理已经知道数字“3”对应的数量。我的意思是，查理内在的非言语累加器已经达到了代表3个物品集合的满格状态。

大体上来讲，接下来查理要做的，就是把这些前语言的表征与他所听到的词关联起来。经过数周或数月，他应该就会意识到“3”这个词并不总是随着小东西、动物、运动或是响声的出现而出现，当有3个物品出现时，他的心理累加器会达到一种特定状态，此时，这个词通常都会出现。可见，是数字和他自有的非语言数量表征之间的关联性帮助他确定“3”是指3个。

“对照原则”可以促进关联过程的建立。这一原则规定，发音不同的单词对应不同的含义。如果查理已经知道“狗”和“小”的意思，那么通过对照原则他就可以确定不认识的单词“3”不是指大小，也不是指动物的名字。通过缩小猜测范围，他会更快意识到这个数词对应的是数量3。

约整数，精确数

在获得了数字的确切含义后，儿童还必须掌握一些使用语言的惯例。其一就是约整数和精确数之间的区别。我将通过一个笑话来引入这个区别：

在自然历史博物馆，游客问馆长：“这只恐龙有多古老？”答案是“七千万零三十七年”。正当游客惊叹答案的精确性时，馆长解释说：“你知道吗？我已经在这里工作了37年，而我刚来的时候答案是7 000万年！”

刘易斯·卡罗尔以其精妙的逻辑学和数学方面的文字游戏而著称，他经常用“数字无厘头”给他的故事增添趣味。下面是他鲜为人知的著作《西尔维和布鲁诺的结论》（ Sylvie and Bruno Concluded）中的一个例子：

“别打岔，”布鲁诺在我们进来时说，“我在数地里的猪！”

“到底有多少？”我问。

“大约一千零四。”布鲁诺说。

“你的意思是‘大约有一千’，”西尔维纠正他，“没有必要说‘零四’，你没办法确定是四个！”

“你又像以前一样错了！”布鲁诺得意地大声说，“只有这四个是我可以肯定的，因为它们就在这里，在窗下哼哼！而另外一千正是我不能肯定的！”

为什么这段对话听起来这么奇怪呢？因为它违反了使用数字时隐含的一个普遍原则。这个原则规定，某些数字可以用于代表一个大约的数量，即“约整数”，而其他所有的数量则必须要有一个极其精确的含义。当我们说恐龙生活的年代距今7 000万年时，这个值暗含了精确到千万年的意思。一个数字的精确度取决于从右往左数第一个非0的数字。如果我说，墨西哥城的人口是39 000 000，我的意思是这个数字精确到了100万，而如果我给出一个39 452 000这样的人口数字，我暗含的意思是这个数值精确到了1 000。

这个惯例有时会自相矛盾。如果一个精确的数量恰好是一个约整数，只说出数字是不够的。我们还必须用一个副词或专用语修饰它以强调其准确性。例如，“今天，墨西哥城的确切人口数为3 900万”。出于同样的原因，“19大约是20”这样的句子是可接受的，而“20约等于19”则不可以。“约等于19”这一短语是个自相矛盾的说法，因为，如果想说一个估计值，干吗要用19这个精确数呢？

世界上所有语言似乎都选择使用约整数。为什么会这么普遍呢？也许是因为所有人都共享同样的心理器官，而且都遇到了概念化大数量的困难。数量越大，我们的心理表征就越不准确。语言如果想成为思想的忠实载体，就必须拥有能够表达这种逐渐增长的不确定性的装置。约整数就是这样一种装置。通常，它们表示近似的数量。不管是有18个还是22个学生，“房间里有20个学生”这句话都是对的，因为“20”可以表示数轴上一个扩展的区域。这也是为什么讲法语和讲德语的人常把“15天”表达为“两个星期”，其实确切的数字应该是14。

近似值在我们心目中是如此重要，以至于有许多其他语言机制都可以用来表示近似值。所有语言都拥有丰富的词汇来表达数值的不确定程度——大约（about）、左右（around）、差不多（circa）、大概（almost）、粗略的（roughly）、近似（approximately）、或多或少（more or less）、几乎（nearly）、少量地（barely），等等。大多数语言还采用了一个有趣的结构：把两个数字用“到”相连可以用来表达一个可信的区间：2到3本书、5到10个人、一个12到15岁的男孩、300到350美元。这种结构使我们不仅能够传递一个近似的数量，而且表达了这个近似数量的准确度。因此，对于同样的近似数量，逐步增加的不确定性可以通过10到11、10到12、10到15，或者10到20来表示。

泰斯·波尔曼（Thijs Pollmann）和卡雷尔·让森（Carel Jansen）所做的一项语言分析显示，这种两个数字相连的结构遵循某些隐含的规则。并非所有的间隔都是合理的。比如，其中至少有一个数字必须是约整数。我们可以说“20到25美元”，却不能说“21到26美元”。另外，两个数字必须是同一数量级的。“10到1 000美元”听起来会很奇怪。下面引用刘易斯·卡罗尔的另一个例子来说明这一点：

“你走了多远来的，亲爱的？”年轻女士问道。

西尔维看起来有点茫然。“1到2公里，我想。”她不确定地说。

“1到3公里。”布鲁诺说。

“你不应该说‘1到3公里’。”西尔维纠正他。

年轻女士赞许地点点头。“西尔维是对的。我们平常很少说‘1到3公里’。”

“只要我们经常说，它就会很平常。”布鲁诺说。

布鲁诺是错的。“1到3公里”听起来永远都不会对，因为它违反了基本规则。只需要想一下我们试图表达的是什么，这些规则就可以理解了。我们要表达的是心理数轴上模糊不清的数字区间。当我们说“20到25美元”时，实际上我们的意思是：“我的心理累加器处于一种模糊状态，大约是20，误差约5。”从21到26，从10到1 000，从1到3，都不是累加器的合理状态，因为前者太精确，而后面两个又太不精确了。

为什么有些数字出现得更频繁

你想不想来打个赌？随便打开一本书，注意你遇到的第一个数字。如果这个数字是4、5、6、7、8或9，你赢10美元。如果是1、2或3，我赢同样的钱。大多数人都很乐意打这个赌，因为他们认为自己赢的概率是6：3。但是，此赌必输。不管你相信与否，数字1、2和3在印刷品中出现的次数大约是所有其他数字出现次数总和的两倍！

这个发现严重违反直觉，因为9个数字看起来似乎是等价而且可以互换的。但我们忘记了一点，印刷品中出现的数字并不是由一个随机数发生器生成的。每个数字都代表一个人试图把一些来自大脑的数量信息传递给另一个人。因此，在某种程度上，每个数字的使用频率，取决于我们的大脑对相应数量进行表征的难易程度。数字心理表征的精确度下降，影响的不只是我们的感知，同时还有数字的产出。

杰柯·梅勒和我系统地寻找了词频表中的数词。这些表总结出某个单词（比如five）在书面或口语中出现的频率。很多语言中都有词频表，从法语到日语、英语、荷兰语、加泰罗尼亚语、西班牙语，甚至一种在斯里兰卡和印度南部使用的德拉维语言——卡纳达语。尽管在文化、语言和地理上存在着巨大的差异，但在所有这些语言中，我们都观察到了同样的结果：数字出现的频率随着数字增大而稳定降低。

例如，在法语中，“un”（1）这个词约每70个词出现一次，“deux”（2）约每600个词出现一次，“trois”（3）约每1 700个词出现一次，等等。从1到9，数词出现的频率递减，11到19，包括10到90的整十数也是如此。不仅是阿拉伯数字，甚至还包括从“第一”到“第九”的序数词，它们在书面文字或口语中均出现了类似的递减趋势。另外还有一些具有普适性的偏差：“零”出现的频率非常低，到10、12、15、20、50、100时会出现峰值（见图4-4）。值得注意的是，尽管不同语言中表达数字的发音方式差别很大，这种跨语言的规律仍然存在。如日语中没有整十数，荷兰语中十位和个位需要换位，法语数词70、80和90中隐含基数20。

在所有语言中，数字在书面文字或口语中出现的频率随数字增大而降低，约整数10、12、15、20、50、100的出现频率局部增大。比如，我们看到或听到2的频率比听到9的频率高10倍左右。

图4-4　数字的出现频率

资料来源：Dehaene & Mehler, 1992。

我认为，这些语言规律再次反映了我们的大脑进行数量表征的方式。然而，在得出结论之前，我们必须检验一下另外一些可能的解释。因为歧义也可能导致这种现象。在许多语言中，“一”“一个”没有什么区别，这可能是法语中“un”的使用频率升高的原因。然而在英语中显然不是这样，英语中“one”只是一个数词。大于2的数字就不存在歧义这个问题，但在2之后数字的使用频率急剧下降。

另一个可能的因素是我们对计数的喜好。在我们的环境中，许多对象都是从1开始编号的。在任何一个城市，编号为1的房屋要比编号为100的房屋多，因为所有的街道都有一个1号，但有些没有达到100号。这种效应肯定有助于提高小数字的出现频率，然而我们很快就可以算出来，这一效应无法解释为什么在1到9的区间内数字出现的频率会下降。

我们也应该考虑一下纯粹的数学解释。很少有人知道以下这条非常反直觉的数学定律：从任意本质上平滑分布的数字场中抽取若干随机数，数字第一位是1的频率远大于第一位是9。这个奇异的现象被称为本福特定律。美国物理学家弗兰克·本福特（Frank Benford）观察到一个有趣的现象：在他所在大学的图书馆里，对数表头几页的磨损要比最后几页更严重。当然没有人会像读一本难看的小说那样，在中途停止读对数表。为什么他的同事们必须从对数表的开头查询而不是从最后呢？是不是因为小数字比大数字使用得更频繁呢？带着这样的困惑，本福特发现，所有来源的数字——美国湖泊的水平面、同事家的街道地址、整数的平方根，等等，数字第一位是1的概率约为第一位是9的6倍。大约31%的数字第一位是1，19%的数字第一位是2，12%的数字第一位是3，接下来的数字出现在第一位的频率依次递减。一个数字第一位是 n的概率可以非常准确地由公式P（ n）=log 10（n+1）-log10（n）预测。

关于这条规律的真实起源我们仍然知之甚少，但有一点是肯定的，这是一个纯粹的形式定律，完全由我们的数字符号的语法结构决定。它与心理学没有半点关系，一台计算机在随机打印阿拉伯数字甚至拼写数词时都会重复这一定律。唯一的约束似乎在于，从足够平滑的分布中抽取的数字跨越了多个数量级，例如，从1到10 000。

本福特定律肯定有助于提高自然语言中小数字的使用频率。然而，它的解释力度是有限的。这一定律只适用于多位数中最左边一位数字的使用频率，对1至9之间数字的频率不会有任何影响。但是杰柯·梅勒和我所做的测量相当直接地表明，人的大脑认为谈论数字1比谈论数字9更重要。不同于本福特定律，这一现象并没有影响到较大的多位数的产出。

如果不是数字符号的语法驱使我们更频繁地使用小数字，难道是大自然本身吗？在我们的环境中，小的集合难道不是出现得更频繁吗？仅举一个例子，如今，我们提到自己有几个孩子，通常只需要4以下的数字！然而，作为数字频率越来越低的一般性解释，这种说法是错误的。哲学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）和奎因（Quine）早就证明，客观地讲，在我们的环境中，小数目出现的概率并不比大数目的大。在任何情况下，事物的潜在无限性都可能被记数。为什么我们喜欢讲“一副”牌，而不是54张牌？世界主要是由小的数集组成的这种想法，是知觉和认知系统强加给我们的一种幻觉。不管我们的大脑怎么想，自然并不是这样组成的。

在不诉诸哲学论证的情况下，为证明这一点，我们先来考虑一下前缀为数字的单词的分布，如“ bicycle”（自行车）或“triangle”（三角形）。正如“2”比“3”更频繁地出现，前缀是“bi”（或“di”或“duo”）的单词多于前缀是“tri”的单词。重要的是，即使环境因素对小数字的偏向很少或根本没有，这一规律仍然正确。如时域，我的英语字典中列出了14个前缀为“bi”或“di”的时间词，从“biannul”（一年2次）到“diestrual”（间情期）；5个前缀为“tri”的单词，从“triennial”（3年）到“triweekly”（每3周）；5个带有表示4的前缀的单词；只有2个带有表示5的前缀的单词，它们是生僻字“quinquennial”（每5年）和“quinquennium”（5年期）。可见，随着数字越来越大，相关的词就越来越少。很难看出这是由于环境的偏向造成的。在自然界中，以2个月为周期的事件并不特别常见。罪魁祸首是我们的大脑，当事件发生时，它更关注小数字或约整数。

如果词汇对小数的偏向能够在没有任何环境偏向的情况下出现，那么与之相反，在有些情况下，一些客观上存在的偏向未能被成功地纳入词汇中。4个轮子的车远多于2个轮子的车，但后者有数量前缀（bicycle，自行车），而前者没有（quadricycle？四轮车？）。世界上存在的数字规则中，似乎只有那些数量足够小的才会被词汇化。例如，我们有前缀为数字的单词用来描述三叶植物（trifoliate三叶的，trifolium三叶草；法语中是trèfle），但其他许多具有固定的大量叶片或花瓣数目的植物或花卉，用来描述它们的单词却没有类似的数字前缀。像“octopus”（章鱼、八爪鱼）这样明确代表一个精确大数字的词是非常罕见的。最后一个例子是蜈蚣，它是一种节肢动物，有21段体节和42只脚，通常在英语中被称为“centipede”（100只脚），而在法语中被称为“mille-pattes”（1 000条腿）！很显然，只有在符合我们偏向于小数字和约整数的认知结构时，自然界中的数字规律才会受到关注。

人类语言深受这种与动物和婴儿共有的非言语数字表征的影响。我相信，仅凭这一点，就可以解释为什么词频普遍随数字增大而下降。我们之所以更频繁地表达小数字，是因为我们的心理数轴的表征精度在下降。数量越大，我们的心理表征越模糊，我们越觉得表达其精确数量的必要性很小。

约整数是个例外，因为它们可以表达数量大小的范围。这就是为什么数词“十”“十二”“十五”“二十”“五十”和“百”出现的频率要高于与它们邻近的数字。总而言之，数字出现频率的整体递减和局部峰值，都可以用内部数轴的标记来解释（见图4-5）。在儿童习得语言的过程中，他们学会给每个数量范围命名。他们发现，“二”这个词适用于他们与生俱来的一种知觉；而“九”仅对应一个确切的但是很难精确表征的数量9；人们经常用“十”来表示5到15之间的任意数量。因此，比起“九”，他们更频繁地说“二”和“十”，于是保持了数字频率的规律分布。

数量心理表征的组织形式引起数字出现频率的降低。数字越大，我们的心理表征越不准确；于是，我们越少使用相应的数词。至于像10、12、15或20这样的约整数，它们代表较大的数量范围，因而使用的频率高于其他数词。

图4-5　对数量的心理表征

资料来源：Dehaene & Mehler, 1992。

最后一个细节：我们的研究结果表明，在所有西方语言中，数字13出现的频率要低于12或14。这似乎源于人们对“魔鬼的一打”（Devil’s dozen）的迷信，它赋予13负面的意义，其流传之广使美国的许多摩天大楼没有13层。在印度没有这种迷信，数字13的使用频率没有出现显著的下降。数字的使用频率甚至在最微小的细节上都忠实地反映了它们在我们心目中的重要性。

记数系统的文化进化

对数字语言的分析揭示了数学和大脑之间的什么关系？它揭示了记数系统的演变源于大脑、利于大脑。源于大脑，是因为数字符号的历史显然受制于人脑的创造力和掌握记数新原则的能力。利于大脑，是因为只有符合人类的感知记忆的局限并因此提高了人类的计算潜力，数字发明才会被一代代传递。

数字的历史显然不仅仅由随机因素驱动。它展现出超越历史偶然性的清晰明了的规律性。跨越边界和海洋，无论男女、肤色、文化、宗教，人们不约而同地创造出了同一种记数法。在长达3 000多年的时光里，位值原则在中东、美洲大陆、中国和印度一再被重复发现。在所有语言中，数词的使用频率随数字增大而降低。同样在所有语言中，约整数与精确数并存。促使这些惊人的跨文化相似性产生的，并不是遥远的文明古国之间不可靠的交流。这些文明发现了相似的解决方案，是因为他们曾面临同样的问题，而且被赋予同样的大脑来解决问题。

让我来概括一下人类缓慢实现更高级的数字功能的过程。鉴于历史很少是线性的，而有些文化可能跳过了几个阶段，这个总结必然具有高度的概括性。

口头记数的演变

出发点：我们与动物共有的数量的心理表征。

问题：如何通过口语沟通这些数量？

解决方案：用数词“一”“二”和“三”直接表示感数范围的数字1、2和3。

问题：如何表示超过3的数？

解决方案：与身体部位建立一一对应的关系（12=指向左胸）。

问题：手忙不开时，如何数数？

解决方案：用身体部位的名称来表示数字名（12=“左胸”）。

问题：与无限的数字相比，身体部位有限。

解决方案：发明数量的语法（12=“两只手加两个手指”）。

问题：如何表示近似的数量？

解决方法：选择一组“约整数”，并发明两数词结构（two-word construction）。例如，10到12人（ten or twelve people）。

书面记数的演变

问题：如何永久地记录数量？

解决方案：一一对应。在骨头、木头等物品上刻下刻痕（7=

）。

问题：这些刻痕很难阅读。

解决方案：重新组合刻痕（7=

）。用单个符号来替换一些组（7=Ⅶ）。

问题：大数字仍需要很多的符号（例如，37=ⅩⅩⅩⅦ）。

僵局1：添加更多的符号（例如，用L代替ⅩⅩⅩⅩⅩ）。

僵局2：使用不同的符号来表示个位数、十位数和百位数（345=TME）。

解决方案：使用乘法和加法的组合来记数（345=3个百，4个十，和1个5）。

问题：这种记数法仍然存在着重复词“百”和“十”。

解决方案：放弃这些词，得到现代的位值记数法的雏形（437=4 3 7）。

问题：某个位数上没有单位数时，这种记数法会含糊不清（407，表示为4 7，很容易与47混淆）。

解决方案：创造一个占位符，符号零。

记数系统的文化进化见证了人类的创造力。几个世纪以来，人类不断地发明与改进巧妙的符号图案，以更好地适应人脑，并提高数字的可用性。数字符号的历史很难相容于柏拉图主义者对数字的理解：他们认为数字是一种超越人类的思想观念，它不依赖于人脑，使我们有机会去探索独立于人类思想的数学真理。与柏拉图派数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）的论点相反，数学客体并不是“对文化一尘不染”，至少对数字这个所有数学客体的核心来说，这是不正确的。驱动数字系统进化的因素，显然不是数字的“抽象概念”，也不是一个空灵的数学概念。如果真是这样的话，正如一代又一代数学家提到的，相比于好用但陈旧的基数10，二进制记数法将是一个更为理性的选择。被选定为记数的基数的，至少应该是一个素数，如7或11，或者是一个多约数的数字，如12，但更为朴素的标准支配了我们祖先的选择。基数10的优势在于我们碰巧有10个手指；我们感数的界限能够解释罗马数字的结构；短时记忆容量的局限性促使我们不断寻找更加紧凑的符号用来表示大数字。

最后，让我们用哲学家卡尔·波普尔（Karl Popper）的一句话结束本章的内容：“自然数是人类的杰作，是人类语言和思想的产物。”

二加二等于四，四加四等于八，八加八等于十六，现在复述！老师说道。

——雅克·普雷韦尔，《练习课》（Page D’écriture）

05　小头脑做大计算

“野心”“分心”“丑化”“嘲笑”，这些是一位数学教授给四则运算起的恶作剧名字。这位数学家正是令人尊敬的查尔斯·路特威奇·道奇森（Charles Lutwidge Dodgson），我们熟知他的另一个名字——刘易斯·卡罗尔。可以看出，卡罗尔对他学生的计算能力没有抱太多幻想。也许他是对的。虽然儿童很容易就能习得数字语法，但是学会计算却是一个艰难的考验。儿童，甚至成年人，经常在最初级的计算中犯错。谁敢说自己从来没有在计算“7×9”或“8×7”时出过错？有多少人可以在不到2秒钟内心算出“113-37”或“100-24”？计算上的错误非常普遍，若是有人公开承认“我在数学方面没有一点希望”，他并不会被贴上无知的标签，反而会引来同情。我们中的许多人多少都遇到过爱丽丝在漫游仙境的过程中试图计算时遇到的困境：

“让我想想：4乘以5是12，4乘以6是13，4乘以7是……哦，天哪！以这样的速度我将永远不会得到20！”

为什么心算这么难？在本章中，我们将研究人脑的计算法则。尽管我们对这个问题的认识还远远不够，但有一件事是肯定的：心算给我们的大脑带来了严峻的考验。人脑对记住几十个复杂的乘法口诀，或不出错地完成有10到15个步骤的两位数减法毫无准备。我们与生俱来的数量估计能力可能植根于基因中，但面对精确的符号计算时，我们缺乏专门的脑区资源。为了弥补这一缺失，我们的大脑不得不拼凑出替代的回路。这种拼凑让我们付出了沉重的代价：速度变慢，需要高度集中的注意力，错误频频。这些都反映出我们的脑在设法“纳入”算术时所建立的脑机制是不稳固的。

数数：计算的基础

在生命最初的六七年，大量的计算法则应运而生。儿童重新发明了算术。他们会自发地，或通过模仿同龄人，想象出新的计算策略。他们还学会为每个问题选择最佳策略。他们的大部分策略都是基于数数（counting）的，无论是否使用语言或手指。在有人教他们学习计算之前，儿童仅靠自己就能发现这些策略。

这是否意味着数数是一种人脑与生俱来的能力？美国加州大学洛杉矶分校心理学系的罗切尔·戈尔曼和兰迪·加利斯特尔支持这个观点。他们认为，儿童天生就被赋予了无须学习的数数法则。譬如，不需要教给他们每个对象都必须数一次且只能数一次、数字单词必须按固定的顺序背诵，或者最后一个数字代表整个集合的基数。戈尔曼和加利斯特尔认为，这种数数知识是天生的，甚至先于并引导了数字词汇的习得。

很少有理论会像戈尔曼和加利斯特尔的理论这样引起激烈辩论。对于许多心理学家和教育学家来说，数数是一个模仿学习的典型例子。最初，它只是一个不涉及意义的死记硬背的行为。在卡伦·富森（Karen Fuson）看来，儿童最初把“12345……”（onetwothreefourfive……）当作一个没有间断的链条来背诵。后来他们才能学会将这个序列分隔成单个数字，把它延续到更大的数字，并将其应用到具体情况中。通过观察其他人数数，他们逐步推断出数数是怎么回事。根据富森的说法，数数最初只是鹦鹉学舌。

经过多年的争论和无数次的实验，真相逐渐被揭示，数数这种能力似乎介于“纯粹先天”和“纯粹后天”两个极端之间。数数的某些方面是发育早期就掌握的能力，而其他方面则需要学习和模仿才能习得。

以卡伦·温的实验为例，我们可以发现令人惊异的早期数数能力。两岁半的儿童可能很少有机会看到有人对声音或动作计数。然而，如果让他们观看《芝麻街》录像带，并且数大鸟跳跃的次数，他们很容易就能完成任务。同样，他们可以数各式各样的声音，如喇叭声、铃铛响、泼溅声、磁带里计算机的哔哔声，甚至看不见源头的声音。可见，不需要明确教学，儿童似乎很早就理解数数是一个抽象的过程，适用于各种视觉和听觉对象。

下面是另一种早期能力：早在3岁半的时候，儿童就知道，背诵数字的顺序至关重要，而以哪种顺序指向对象无关紧要，只要每个对象数一次并且只数一次。在一系列具有创新性的实验中，戈尔曼和同事们向儿童呈现了几种违反数数惯例的情境。结果表明，3岁半的儿童可以识别并纠正相当微小的数数错误。若有人背错了数字的顺序或漏数了一个对象，或者同一个对象数了两次，他们总是能注意到。最重要的是，他们能清楚地区分哪些是明显的错误，哪些是正确但不常见的数数方式。例如，他们发现，从一排对象的中间开始计数，或间隔地计数是完全可以接受的，只要最终所有物品都被数过一次且只数一次。更有趣的是，他们愿意从一排中任意一个对象开始数，他们甚至可以制定系统的策略，使某个预先指定的对象恰好排在第3位。

这些实验表明，在4岁之前，儿童已经掌握了数数的基本原则。然而他们并不满足于亦步亦趋地模仿别人，他们把数数推广到了新异的情境中。我们对这种早期能力的起源仍然知之甚少。儿童从哪里获得把数数的对象跟背诵的数词一一对应这个想法呢？跟戈尔曼和加利斯特尔一样，我相信这种才能属于人类的遗传禀赋。以一个固定的顺序背诵单词可能是人类语言能力自然而然的结果。至于一一对应原则，这在动物王国中实际上广泛存在。老鼠在迷宫中寻找食物的时候，会试图访问每个岔路一次且只一次，这是一种最大限度地减少搜索时间的理性行为。当我们在视野中寻找给定对象时，我们的注意力轮流转向每个对象。数数法则正处于人脑两种基本能力的交汇处——单词背诵和彻底搜索。这就是为什么我们的孩子很容易掌握它。

虽然儿童迅速掌握了如何数数，然而他们似乎一开始就不在乎为什么要去数。作为成年人，我们知道数数用来干什么。对我们来说，数数是一个具有明确目的性的行为：列举一组物品。我们也知道，真正重要的是最后一个数字，它代表了整个集合的基数。儿童也懂这些吗？还是说他们只是把数数当成一种游戏，在这个游戏中每指向一个不同的物品就读一个有趣的单词？

卡伦·温认为，只有在快满4周岁时，儿童才可能领会数数的意义。如果你让3岁的小女儿数她的玩具，然后问她：“你有多少玩具？”她很可能会给出一个随机数，并不一定是她刚刚数出来的数字。和这个年龄段的所有儿童一样，她似乎并没有把“多少”这个问题与她先前的数数行为联系起来。她甚至可能把所有东西再数一次，好像数数行为本身就足以回答“多少”这个问题。同样，要求一个两岁半的小男孩给你3个玩具。他很可能会随机挑选几个，即使他已经可以数到5或者10。在这个年纪，虽然数数的机制已经就绪，但儿童似乎并不明白数数到底有什么用途，当问题情境需要通过数数解决时，他们并不会想到数数。

到4岁左右，儿童才最终明白了数数的意义。但他们是如何明白的呢？数量的前语言表征能力可能在这一过程中起着至关重要的作用。儿童从出生开始，早在他们开始数数前，就已经拥有一个能够告诉他们周围事物大概数量的心理累加器。这个累加器有助于赋予数数意义。假设一个儿童在玩2个布娃娃，他的累加器会自动激活数量2的大脑表征。我们在前面的章节中描述过，他已经学会了数词2适用于这个数量，因此在不需要数数的情况下他也可以说“2个娃娃”。现在假设，没有特别的原因，他决定和布娃娃“玩数数游戏”，在背诵单词“1、2”时他惊奇地发现，数数的最后一个数字2正是可以用于表示全体数量的那个词。经历过10次或20次这样的场合，他可能会很有把握地推断，数数时的最后一个数具有特殊的地位：它代表了一个与内在累加器提供的数量相匹配的数量。数数，原本只是一个有趣的文字游戏，现在突然有了一个特殊的意义：数数是回答“多少”这个问题最好的方法！

学前儿童：算法设计师

理解数数的用途，是突破各种数字发明的一个出发点。数数是算术的瑞士军刀，儿童会自发地把它用于各种用途。有了数数的帮助，不需要明确教学，大多数儿童都能够发现对数字进行加减的方法。

儿童自己能够弄明白的第一个计算方法是，通过把两组个体分别用手指数出来，来计算它们相加的结果。让一个儿童计算“2+4”，通常，他会先数到2（第一个数字），同时伸出2根手指。然后，再数到4（第二个数字），同时伸出另外4根手指。最后，他会将所有这些重新数一遍，然后得到总数6。首先出现的这种“手指”算法在概念上很简单，但速度很慢。用这种方法完成计算有时情况会相当棘手：为计算“3+4”，我4岁的儿子伸出左手的3根手指和右手的4根手指，这时，他只能用他的鼻尖做点数的动作，从而继续完成数数！

在第一阶段，儿童发现不使用手指就难以计算。话一出口就会消失，但是手指可以一直在眼前，防止他们因为一时分心而数错。然而几个月后，儿童会发现一个比手指计数更有效的加法算法。当进行2与4相加的运算时，可以听到他们嘟囔“1、2……3……4……5……6”，他们首先数到第一个运算数2，再往后数4个数。这是一个需要注意力的策略，因为它暗含着某种递推（recursion）过程，在第二阶段，你需要数出你数过的次数！儿童经常把这种过程表达得更明确：“1、2……3是1……4是2……5是3……6是4……6。”他们极为缓慢的速度和高度集中的注意力可以反映出这一步骤的难度。

他们很快对此进行了精炼。大多数儿童意识到，他们不需要对这两个数字都重新数数，想要计算“2+4”，可以从2开始，只需要简单地数“2……3……4……5……6”。为了进一步缩短计算时间，他们学会从这两个数字中较大的那个开始。在被要求计算“2+4”时，他们自发地将这个问题转换成等价的“4+2”。其结果是，他们需要数的次数等于较小加数。这就是所谓的“最小值策略”（minimum strategy）。在接受正规教育之前，这是大部分儿童进行计算的标准算法。

儿童能自发地想到从两个加数中较大的那个开始数数，这是非常了不起的。这表明，他们很早就能理解加法交换律（commutativity，即 a+b总是等于b+a的规律）。实验表明，5岁的儿童就已经了解了这一定律。众多教育工作者和理论家认为，除非儿童首先接受几年扎实的逻辑教育，否则根本不可能理解算术。然而事实恰恰相反：在儿童上学前，还在依靠手指数数的时候，他们就已经发展出了对交换律的直观认识，但只有到更晚期他们才有可能理解交换律的逻辑基础。

儿童在选择计算法则上具有非凡的天赋。他们很快就掌握了许多加法和减法的策略。然而，他们没有在众多的可能性中迷失，而是学会为每一个具体问题仔细选择最合适的策略。对于“4+2”，他们可能会决定从第一个加数开始数数。对于“2+4”，他们不会忘记交换两个加数。面对更困难的“8+4”，他们可能还记得“8+2=10”。如果他们把4分解为“2+2”，那么他们将能够轻松地数出“10、11、12”。

计算能力的发展过程并非一成不变。每个儿童就像一个厨师的学徒，随机地尝试配方，评估结果的质量，然后决定是否继续在这个方向上前进。儿童对算法的心理评估需要兼顾计算所花费的时间，以及得到正确结果的可能性。在儿童心理学家罗伯特·西格勒（Robert Siegler）看来，儿童详细地统计了每种算法的成功率。渐渐地，他们获得了一个有关解决各种数学问题的最佳策略的精密数据库。毫无疑问，无论是向儿童灌输新的算法，还是向他们提供选择最好策略的明确规则，数学教育在这个过程中发挥着极其重要的作用。然而，这个伴随着选择的发明过程中最重要的部分，是在大多数儿童甚至尚未达到进入幼儿园的年龄时就建立起来的。

想听最后一个有关儿童在设计自己的计算法则方面所表现出的聪慧的例子吗？以减法为例，要求一个小男孩计算“8-2”，你可能会听到他喃喃自语：“8……7是1……6是2……6。”他从大数字8开始倒数。现在让他计算“8-6”，他会倒数“8、7、6、5、4、3、2”吗？不。情况很可能会是这样，他会找到一个更便捷的解决方案：“6……7是1……8是2……2！”他数出了从小数字到大数字需要的步数。通过巧妙地规划自己的行动过程，他显著地节省了计算步骤。计算“8-2”和“8-6”，他都用了相同数量的步骤：2个。但他如何选择合适的策略呢？最佳选择取决于减数的大小。如果它大于被减数的一半，如“8-5”“8-6”或“8-7”，第二种策略占优；否则，像“8-1”“8-2”“8-3”，倒数的速度更快。他不仅是个能够自发发现这条规则的相当聪明的数学家，而且还设法利用了自己天生的数量直觉。儿童是通过初步的快速猜测来决定精确计算策略的。4到7岁的儿童本能地理解了计算意味着什么，以及如何选择最优的计算策略。

记忆登场

用秒表测一下一个7岁儿童对两个数字进行相加的时间。你会发现，计算所需时间与较小的加数成正比，这是儿童正在使用最小值算法的明确信号。即使儿童没有流露出任何口头或手指数数的证据，反应时表明，他正在脑中背诵这些数字。在计算“5+1”“5+2”“5+3”或“5+4”时，每增加一个单位需要增加4/10秒：在该年龄，每一个计算步骤大约需要400毫秒。

对于年纪大点的被试会是什么情况呢？当美国卡内基梅隆大学的心理学家盖伊·格伦（Guy Groen）和他的学生约翰·帕克曼（John Parkman）在1972年第一次进行这项实验时，他们困惑地发现，即使是大学生，做加法需要的时间也能通过数值较小的加数来预测。唯一的区别在于时间增量减小了——每单位间隔20毫秒。如何解释这一发现呢？当然，即便是天才学生也不能以20毫秒一个数字，或每秒50个数字这样令人难以置信的速度数数。于是格伦和帕克曼提出了一种混合模型。在95%的实验中，学生能够直接从记忆中提取结果。在剩下5%的实验中，他们的记忆会崩溃，他们不得不以每400毫秒一个数字的速度数出来。因此，平均而言，每个单位增加的额外时间只有20毫秒。

尽管这个建议别出心裁，但它很快就遇到了挑战。新的发现表明，学生的反应时并没有随加数的增大呈线性增加（见图5-1）。大数的加法，如“8+9”，花费了不成比例的较长时间。对两数字相加所需时间预测效果最好的，实际上是它们的乘积或它们加和的平方——这两个变量并不符合被试是在数数这一假设。对数数理论的最后一击是：两个数字相乘所用的时间与这两个数字相加基本上相同。事实上，加法和乘法所需时间可以由同样的变量来预测。如果被试是用数数的方法，即使只在5%的实验中这样做，乘法还是应该比加法慢得多。

一个成年人解决加法问题的时间随运算数数值的增大而显著上升。

图5-1　成年人解决加法问题的反应时

想摆脱这个困境只有一个途径。1978年，美国克利夫兰州立大学的马克·阿什克拉夫特（Mark Ashcraft）和同事们提出，年轻人在进行加法和乘法运算时不是通过数数，而是从记忆中的乘法表或加法表中检索结果。但是，运算数越大，查询这个表所需要的时间就越长。检索“2+3”或“2×3”的结果需要不到1秒，但解决“8+7”或“8×7”需要约1.3秒。

数字大小影响记忆提取可能有多个原因。第一个因素，正如在前面章节中解释过的，我们的大脑对数字进行表征的准确性随着数字的增大而迅速下降。第二个因素，可能是学习的顺序，因为学习小数的简单运算往往早于学习大数的复杂运算。第三个因素是训练量。因为数字越大，出现的频率越低，对于数字较大的乘法问题，我们受到的训练较少。马克·阿什克拉夫特和他的同事们总结了儿童的教科书中每个加法或乘法问题出现的频率。结果令人感到不可思议，儿童更多地演练2或3的乘法，而不是7、8或9的乘法，尽管后者更难。

记忆在成人心算中的核心作用现在已经成为人们普遍接受的假设。但这并不意味着成年人没有其他可用的计算策略。事实上，大多数成年人承认他们会使用别的方法，如计算“9×7”时采用“（10×7）-7”的方式，这个因素也导致求解大数的加法和乘法问题的速度变慢。然而，它意味着，在学龄前的几年，心算系统确实发生了重要的升华。儿童突然从简单计数策略所支持的对数量的直觉理解转变到机械算术。如果恰逢此时儿童在数学上第一次遇到严重的困难，也就不足为奇了。突然之间，数学上的进步意味着要在记忆中存储大量的数字知识。大多数儿童会竭尽全力渡过这一难关。然而，正如我们即将看到的，在这个过程中他们往往失去了对算术的直觉。

记住乘法口诀表为什么如此艰难

很少会有计算规则像加法表和乘法表那样得到大量训练。我们都曾花费了一部分童年时光来学习它们，作为成年人，我们也会不断去回想它们。任何一个学生每天都需要进行几十遍的基础计算。一生中，我们必须解决超过10万个乘法问题。然而，我们的算术记忆最多也只能算中等水平。解决像“3×7”这样的乘法问题，即便是受过良好训练的年轻人也要花费一些时间，往往超过1秒，平均错误率为10%～15%。对于较难的问题，如“8×7”或“7×9”，往往伴随着超过2秒的紧张思考，并且每4次尝试中至少发生一次错误。

为什么会这样？与0或1相乘显然不需要死记硬背。此外，一旦记住“6×9”或“3+5”，根据交换率，“9×6”和“5+3”就很容易回答。因此，我们只需记住45个加法口诀和36个乘法口诀。即便如此，为什么记住它们对我们来说仍然如此艰难？我们的记忆中挤满了其他几百个随机事实。朋友的名字、年龄、地址和生活中的许多事件占据了记忆的各个角落。就在儿童刚开始学习算术的时候，他们每天都会毫不费力地习得十几个新词。在成年之前，他们已经学会了至少2万个单词的发音、拼写和意义。是什么使乘法表即使经过多年的训练仍然如此难记？

答案在于加法表和乘法表的特殊结构。算术事实不是随意的，也不是相互孤立的。相反，它们紧密交织在一起，充满了虚假的规律性、容易让人误解的押韵和混乱的双关语。如果你需要记住下面这些家庭地址，会出现什么情况呢？

·　Charlie David住在George大街。

·　Charlie George住在Albert Zoe大街。

·　George Ernie住在Albert Bruno大街。

还有这些工作地址：

·　Charlie David在Albert Bruno大街工作。

·　Charlie George在Bruno Albert大街工作。

·　George Ernie在Charlie Ernie大街工作。

记住这些繁杂句子的过程注定是一场噩梦。然而，它们只不过是变相的加法表和乘法表。让我们用数字来代替人名和地名中的每个词，Zoe=0，Albert=1, Bruno=2，Charlie=3，David=4，Ernie=5，George=7，表示家庭地址用加法，表示工作地址用乘法。如此一来，上述6个地址相当于加法“3+4=7”“3+7=10”和“7+5=12”，以及乘法“3×4=12”“3×7=21”“7×5=35”。从这个不寻常的视角看，算术表在我们成人眼里也变得像儿童第一次见到它们时那样难了。毫无疑问，我们很难记住它们。但最令人惊奇的是，我们最终还是记住了其中的大部分内容！

问题还没有被解释清楚：为什么这种类型的列表如此难记？哪怕是内存容量小于千字节的电子存储器，也能轻松地把加法表和乘法表全部存储下来。事实上，用计算机来比，等于在回避问题。我们的大脑无法记住算法口诀，是因为人类记忆的组织不同于计算机，是联想记忆：它在不相干的数据之间建立了许多联系。这种联系能够在零散信息的基础上重建记忆。每当我们试图回想一个过去的事实时，我们都会自觉或不自觉地激活这个重建过程。普鲁斯特（Proust）的贝壳蛋糕的香味会一步一步地唤起一个包含丰富的声音、视觉、话语和过去的感情的记忆世界。

联想记忆既是优点也是缺点。当我们从一个模糊的回忆开始，展开貌似已经丢失的完整记忆时，它是一种优点。迄今为止，没有任何计算机程序能以这种“内容搜索”的方式重现事物。它的优点还表现在它使我们可以利用类比，使我们能够把其他情况下学到的知识应用到一个新的环境。但是，在乘法表这样的领域里，需要不惜一切代价防止各种知识相互干扰，此时，联想记忆就成了一个缺点。在面对一只老虎时，我们会迅速激活与狮子有关的记忆。然而，在试图回忆“7×6”的结果时，激活“7+6”或“7×5”的知识却会给我们带来不小的麻烦。不过对于数学家来说，联想记忆的优势很大程度上抵销了它在算术领域中的缺点，我们人脑正是在这样的环境下进化了数百万年。现在我们必须学会适应这种不合时宜的算术联想，无论我们为了抑制它做出多少努力，都无法阻止这种自动的联想记忆。

有很多联想记忆干扰带来恶性后果的证据。世界各地的学生为计算过程的科学研究贡献了数以十万计的反应时数据和数以万计的错误数据。正是有了它们，我们现在才能确切地知道哪些计算错误是最常见的。面对“7×8”，你的答案可能是63、48或54，而不是56。但没有人回答55，虽然这个数字与正确答案只差1。实际上，所有的错误都来自乘法表，通常与原始问题同行或同列。为什么呢？因为仅仅呈现“7×8”，就足以使我们记起与它紧密关联的近邻的“7×9”、“6×8”或“6×9”，而不仅仅是56这个正确结果。所有这些结果在试图进入语音产出过程时发生竞争。常常是我们试图回忆“7×8”的结果，而“6×8”的结果蹦了出来。

算术记忆的自动化从人们很小的时候就开始了。早在7岁时，每当我们看到两个数字时，我们的大脑会自动地想到它们的和。为了证明这一点，加拿大亚伯达大学的心理学家乔安尼·勒菲弗（Joanne Lefevre）和同事们策划了一个巧妙的实验。实验者告诉被试说，他们将看到一对数字，如2和4，记忆2秒后，他们将看到第三个数字，并判断其是否与前两个数字之一相同。实验结果显示出一个无意识的加法过程。当目标数字与这对数字的总和（6）相等时，虽然被试一般会反应正确，认为它与任何一个初始数字都不相等，但反应会明显减慢，而在5或7出现时，则看不到这种现象。帕特里克·勒迈尔（Patrick Lemaire）及其合作者在最近的研究中也证实了7岁时的这种现象。显然，即便没有加号，仅仅是数字2和4的闪现，就足以使我们的记忆自动提取它们的和。结果由于这个相加后的数字在我们的记忆中被激活，我们会犹豫自己是否看到过它。

下面是算术记忆自动化的另一个强有力的证明，你自己可以试一下。以最快的速度回答以下问题：

2+2？

4+4？

8+8？

16+16？

现在，快！在12和5之间选择一个数字。选好了吗？

你挑的数字是7，是不是？

我是怎么读取你的意识的？仅仅出现数字12和5，似乎就足以引发一种无意识的减法“12-5=7”。这种效应可能被最初的加法训练强化了，12和5的递减排序，以及“12和5之间”（between 12 and 5）这个短语的模糊性，可能促使你去计算两个数字之间的距离。所有这些因素共同加强了“12-5”的自动激活水平，使之能够被意识到，而你却坚信在选择一个数字时行使了你的“自由意志”！

另外，我们的记忆很难把加法和乘法口诀完全隔离开来。我们经常会自动用相乘的结果来回答一个相加的问题“2+3=6”；相反的情况“3×3=6”却很少出现。而且，发现“2×3=5”这一错误比发现“2×3=7”这一错误需要更长的时间，因为前者的结果在加法运算下是正确的。

美国得克萨斯大学的凯文·米勒研究了在学习新的算术知识时，这种干扰的影响有多大。大部分学生在三年级时已经记住了许多加法口诀。在他们开始学习乘法时，加法的计算时间会暂时变长，因为像“2+3=6”这种错误开始出现在记忆中。可见，多种算术法则在长时记忆中混合似乎是大多数儿童的一个主要障碍。

言语记忆的援助

既然在记忆中保存算术表如此困难，我们的大脑最终是如何记住它们的呢？记忆算术表的一个典型策略就是言语记忆。我们可以像记住“一闪一闪小星星”一样逐字记住“三七二十一”。该解决方案并非全无道理，因为言语记忆容量大而且能持久保存。的确，我们满脑子不都是多年前听到过的口号和歌曲吗？教育工作者很早就意识到言语记忆的巨大潜力。在许多国家，背诵仍然是算术教学的主要方法。我还清晰地记得小学时我和我的“小数学家”同学们齐声背诵乘法表时的场景，就像是一场恼人的“合唱”。

日本似乎更进一步改善了这种方法。他们的乘法表由“ku-ku”这样的小节组成，这个词的字面意思是“九九”，直接取自乘法表的最后一节“9×9=81”。在日本的乘法表中，乘号和等号被省略，只留下两个运算数和结果。因此，“2×3=6”被当作“ni san na-roku”来学习，字面上就是“2 3 0 6”。一些惯例随着历史被发扬光大。在“ku-ku”表中，数字的发音对应于它们的汉语形式，且发音随上下文变化。例如，8一般读作“hachi”，但可简称为“hap”，甚至是“pa”，如“hap-pa roku-ju shi”“8×8=64”。这个乘法法则系统是复杂的，并有一定的随意性，但它的奇异性能够减轻记忆负担。

事实上，逐字学会算术表似乎会产生一个有趣的结果：计算与在学校学习它时使用的语言绑定在一起。我的意大利同事，在美国居住20多年后，成了一个熟练的双语者。他用流利的英语交谈和写作，使用严格的语法和丰富的词汇。然而，当他进行心算时，仍会用意大利语咕哝数字。这是否意味着到一定年龄后，大脑失去了它学习算术的可塑性？这是有可能的，但真正的原因可能更微不足道。学习算术表太费劲儿了，对于双语者来说，与其用一门新的语言从头开始学习算术，还不如用他们的母语来计算更实际。

非双语者也可以体验到同样的现象。当我们必须执行复杂的计算时，我们发现很难避免把数字读出声来。如果要求一个人同时进行计算和背诵字母表这两件事，我们很容易发现在算术中言语代码至关重要。试试吧，你会发现真的很难，因为说话使心算所依赖的大脑语言产出系统饱和了。

乘法表逐字编码的更好证据来自对计算错误的研究。看到“5×6”，我们往往会错误地反应为“36”，甚至是“56”，仿佛问题中的5和6破坏了我们的反应。我们的脑回路会自动把问题当作一个两位数读取：“5×6”不可抑制地激活“56”。最奇怪的是，这种错误的读数偏差以一种复杂的方式与结果的合理性产生交互作用。我们从未观察到“6×2=62”或“3×7=37”这样显而易见的错误。大部分时候，只有当错误答案中的两位数属于乘法表的合理结果时（例如，“3×6=36”或“2×8=28”），我们才会误读运算数。这一现象表明，这种读数错误不是发生在乘法结果的读取之后，而是发生在这一过程中，因为此时读数偏差仍然可以影响到算术记忆的提取，但是并没有取而代之。可见，两位数的读取和算术记忆是使用了同样的言语数字编码的高度连通的过程。对于成人的大脑，乘法过程只是意味着将“3×6”以“18”读出。

尽管言语记忆很重要，但它并不是心算过程中所用知识的唯一来源。在面对记忆算术表这样艰巨的任务时，我们的大脑会利用一切可用技巧。记忆失败时，它会求助于其他策略，比如数数、系列相加，或在某一参考值的基础上做减法。例如，“8×9=8×10-8=72”。最重要的是，它从不错过任何走捷径的机会。请检验下面的计算是否正确：“5×3=15”“6×5=25”“7×9=20”。排除第三组乘法时需要计算吗？基于以下两个理由，或许不需要。首先，20这个结果的错误非常明显。实验结果表明，反应时随错误程度的增加而减少。与真实结果差距较大时，排除这一结果所需的时间少于真正运算这个算式的时间，这表明在计算精确结果的同时，我们的大脑也对其结果进行了粗略的估计。其次，“7×9=20”违反了奇偶原则。因为这两个运算数都是奇数，结果只能是奇数。反应时分析表明，我们的大脑会对加法和乘法中的奇偶规则进行内隐的检验，一旦发现冲突，就能够快速做出反应。

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